Номер 723, страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

723. При встрече 8 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Данная задача является классической комбинаторной задачей, которую можно решить несколькими способами.

Решение с помощью комбинаторики

Каждое рукопожатие — это уникальная пара из двух человек. Порядок людей в паре не важен (рукопожатие между человеком А и Б — то же самое, что и между Б и А). Следовательно, нам необходимо найти число сочетаний из 8 человек по 2.

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит так:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число людей $n = 8$, а в каждом рукопожатии участвуют $k = 2$ человека. Подставляем значения в формулу:
$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!}$

Чтобы упростить вычисление, распишем факториалы и сократим общие множители:
$C_8^2 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2 \cdot 1 \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$

Решение с помощью логического подсчета

Можно решить задачу, рассуждая логически. Каждый из 8 человек пожимает руку 7 другим. Если мы просто умножим $8 \cdot 7$, то получим 56. Однако при таком подходе каждое рукопожатие будет посчитано дважды (один раз для первого участника и второй раз — для второго). Поэтому результат необходимо разделить на 2.
$\frac{8 \cdot (8-1)}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$

Этот же результат можно получить, если последовательно суммировать уникальные рукопожатия для каждого человека. Первый человек пожмет 7 рук. Второй — 6 новых рук (так как с первым он уже обменялся рукопожатием). Третий — 5 новых, и так далее до седьмого человека, который пожмет одну последнюю руку восьмому.
Общее число рукопожатий будет равно сумме:
$7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28$

Ответ: 28