Номер 729, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

729. Упростите выражение:

a) $ (\frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b}) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b - a}; $

б) $ \frac{y}{x - y} - \frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \left(\frac{x}{(x - y)^2} - \frac{y}{x^2 - y^2}\right). $

а)

Исходное выражение:

$\left(\frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a-b}{2a+2b}\right) \cdot \frac{2a}{a+b} + \frac{b}{b-a}$

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители:

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

$2a + 2b = 2(a+b)$

Теперь выражение в скобках выглядит так:

$\frac{2ab}{(a-b)(a+b)} + \frac{a-b}{2(a+b)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2(a-b)(a+b)$:

$\frac{2ab \cdot 2}{2(a-b)(a+b)} + \frac{(a-b)(a-b)}{2(a-b)(a+b)} = \frac{4ab + (a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{4ab + a^2 - 2ab + b^2}{2(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2(a-b)(a+b)}$

Свернем числитель по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$\frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)}$

Сократим дробь на $(a+b)$:

$\frac{a+b}{2(a-b)}$

2. Теперь выполним умножение:

$\frac{a+b}{2(a-b)} \cdot \frac{2a}{a+b}$

Сокращаем общие множители $2$ и $(a+b)$:

$\frac{a}{a-b}$

3. Выполним последнее действие - сложение. Обратим внимание, что $b-a = -(a-b)$:

$\frac{a}{a-b} + \frac{b}{b-a} = \frac{a}{a-b} + \frac{b}{-(a-b)} = \frac{a}{a-b} - \frac{b}{a-b}$

Так как знаменатели одинаковы, вычитаем числители:

$\frac{a-b}{a-b} = 1$

Ответ: 1

б)

Исходное выражение:

$\frac{y}{x-y} - \frac{x^3 - xy^2}{x^2+y^2} \cdot \left(\frac{x}{(x-y)^2} - \frac{y}{x^2-y^2}\right)$

1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатель второй дроби на множители: $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.

$\frac{x}{(x-y)^2} - \frac{y}{(x-y)(x+y)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-y)^2(x+y)$:

$\frac{x(x+y)}{(x-y)^2(x+y)} - \frac{y(x-y)}{(x-y)^2(x+y)} = \frac{x(x+y) - y(x-y)}{(x-y)^2(x+y)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x^2+xy-xy+y^2}{(x-y)^2(x+y)} = \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}$

2. Теперь выполним умножение. Сначала преобразуем множитель $\frac{x^3 - xy^2}{x^2+y^2}$, вынеся общий множитель $x$ в числителе и разложив его на множители:

$\frac{x(x^2 - y^2)}{x^2+y^2} = \frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}$

Теперь умножим результат первого действия на этот множитель:

$\frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2} \cdot \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}$

Сокращаем общие множители $(x^2+y^2)$, $(x+y)$ и $(x-y)$:

$\frac{x}{x-y}$

3. Выполним последнее действие - вычитание:

$\frac{y}{x-y} - \frac{x}{x-y}$

Так как знаменатели одинаковы, вычитаем числители:

$\frac{y-x}{x-y}$

Вынесем в числителе $-1$ за скобки:

$\frac{-(x-y)}{x-y} = -1$

Ответ: -1