Номер 730, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

730. Решите неравенство:

a) $(2.5x + 3)(4x - 1) - 2.5x(4x + 2) < 3$;

б) $(1 - 4x)^2 - (8x - 1)(2x + 1) > 0$.

а) $(2,5x + 3)(4x - 1) - 2,5x(4x + 2) < 3$

Чтобы решить неравенство, сначала раскроем скобки в левой части.

Раскрываем произведение первых двух скобок:

$(2,5x + 3)(4x - 1) = 2,5x \cdot 4x - 2,5x \cdot 1 + 3 \cdot 4x - 3 \cdot 1 = 10x^2 - 2,5x + 12x - 3 = 10x^2 + 9,5x - 3$

Раскрываем второе произведение:

$-2,5x(4x + 2) = -2,5x \cdot 4x - 2,5x \cdot 2 = -10x^2 - 5x$

Подставим полученные выражения обратно в неравенство:

$10x^2 + 9,5x - 3 - 10x^2 - 5x < 3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(10x^2 - 10x^2) + (9,5x - 5x) - 3 < 3$

$4,5x - 3 < 3$

Перенесем число $-3$ из левой части в правую, изменив знак на противоположный:

$4,5x < 3 + 3$

$4,5x < 6$

Разделим обе части неравенства на $4,5$:

$x < \frac{6}{4,5}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$x < \frac{60}{45}$

Сократим дробь на их наибольший общий делитель, равный 15:

$x < \frac{4}{3}$

Таким образом, решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; \frac{4}{3})$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{4}{3})$

б) $(1 - 4x)^2 - (8x - 1)(2x + 1) > 0$

Раскроем скобки в левой части неравенства. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а для второго — правило умножения многочленов.

$(1 - 4x)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 4x + (4x)^2 = 1 - 8x + 16x^2$

$(8x - 1)(2x + 1) = 8x \cdot 2x + 8x \cdot 1 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 1 = 16x^2 + 8x - 2x - 1 = 16x^2 + 6x - 1$

Подставим раскрытые выражения в исходное неравенство:

$(1 - 8x + 16x^2) - (16x^2 + 6x - 1) > 0$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки всех слагаемых внутри них на противоположные:

$1 - 8x + 16x^2 - 16x^2 - 6x + 1 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(16x^2 - 16x^2) + (-8x - 6x) + (1 + 1) > 0$

$-14x + 2 > 0$

Перенесем число $2$ из левой части в правую с противоположным знаком:

$-14x > -2$

Разделим обе части неравенства на $-14$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-2}{-14}$

$x < \frac{1}{7}$

Таким образом, решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; \frac{1}{7})$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{7})$