Номер 735, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

735. Сколько существует выражений, тождественно равных произ-ведению $abcde$, которые получаются из него перестановкой множителей?

Данное выражение abcde представляет собой произведение пяти различных множителей: a, b, c, d и e. Согласно условию, нужно найти количество выражений, которые получаются из исходного путем перестановки множителей и тождественно ему равны.

В силу коммутативного (переместительного) закона умножения, от перемены мест множителей произведение не меняется. Это означает, что любое выражение, полученное перестановкой множителей a, b, c, d, e, будет тождественно равно исходному выражению abcde. Например, bacde = abcde, edcba = abcde и так далее.

Следовательно, задача сводится к нахождению количества всех возможных перестановок из пяти различных элементов. В комбинаторике число перестановок из $n$ элементов обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле:
$P_n = n!$
где $n!$ (читается как «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

В нашем случае количество множителей $n = 5$. Подставляя это значение в формулу, получаем:
$P_5 = 5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5$
$5! = 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 6 \times 4 \times 5 = 24 \times 5 = 120$

Таким образом, существует 120 способов переставить пять множителей, и каждый из них создаёт выражение, тождественно равное abcde.

Ответ: 120