Номер 741, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

741. (Задача-исследование.) Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, удовлетворяющих условию:

а) мальчики располагаются в произвольном порядке;

б) Олег должен стоять в начале ряда, а Игорь — в конце;

в) Олег и Игорь должны стоять рядом в произвольном порядке;

г) Олег и Игорь должны стоять рядом, причём Игорь должен находиться впереди Олега.

1) Для каждого случая выясните, какая комбинация рассматривается в данной ситуации.

2) Выполните вычисления и дайте ответ.

а) мальчики располагаются в произвольном порядке;

1) В данном случае рассматривается ситуация, когда порядок расположения мальчиков важен, и все семь мальчиков участвуют в расположении. Такая комбинация называется перестановкой.

2) Число всех возможных перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n = 7$, так как всего 7 мальчиков.
Выполним вычисление:
$P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$.
Таким образом, существует 5040 способов расставить семерых мальчиков в ряд в произвольном порядке.
Ответ: 5040

б) Олег должен стоять в начале ряда, а Игорь — в конце;

1) В этой ситуации позиции двух мальчиков, Олега и Игоря, строго определены. Олег стоит на первом месте, Игорь — на последнем (седьмом). Нам нужно найти количество способов расставить оставшихся мальчиков на оставшиеся места. Это также является задачей на перестановки, но для меньшего числа элементов.

2) Поскольку позиции Олега и Игоря зафиксированы, нам нужно расставить оставшихся $7 - 2 = 5$ мальчиков на $5$ свободных мест между Олегом и Игорем.
Число способов сделать это равно числу перестановок из 5 элементов:
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
Следовательно, существует 120 комбинаций, удовлетворяющих данному условию.
Ответ: 120

в) Олег и Игорь должны стоять рядом в произвольном порядке;

1) Для решения этой задачи мы можем применить метод "склеивания". Мы рассматриваем пару мальчиков (Олег и Игорь) как один неделимый объект. Тогда нам нужно расставить 6 "объектов": 5 отдельных мальчиков и одну пару. Это перестановка 6 объектов. Кроме того, внутри "склеенной" пары мальчики могут меняться местами, что также является перестановкой 2 элементов. Общее число комбинаций находится по правилу произведения.

2) Сначала найдем число способов расставить 6 объектов (5 мальчиков + 1 пара). Это $P_6 = 6!$.
$P_6 = 6! = 720$.
Внутри пары "Олег-Игорь" мальчики могут располагаться двумя способами: (Олег, Игорь) и (Игорь, Олег). Число перестановок внутри пары равно $P_2 = 2! = 2$.
По правилу произведения, общее число комбинаций равно:
$N = P_6 \times P_2 = 6! \times 2! = 720 \times 2 = 1440$.
Существует 1440 способов расставить мальчиков так, чтобы Олег и Игорь стояли рядом.
Ответ: 1440

г) Олег и Игорь должны стоять рядом, причём Игорь должен находиться впереди Олега.

1) Этот случай похож на предыдущий, но с дополнительным ограничением на порядок внутри пары. Мы снова рассматриваем пару мальчиков (Игорь, Олег) как один "склеенный" объект. Однако, в отличие от пункта в), порядок внутри этого объекта строго зафиксирован. Таким образом, нам нужно найти число перестановок для 6 объектов.

2) Мы имеем 6 объектов для расстановки: 5 мальчиков и одна упорядоченная пара (Игорь, Олег).
Число способов расставить эти 6 объектов равно числу перестановок из 6 элементов:
$P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.
Так как порядок внутри пары фиксирован (только один вариант: Игорь впереди Олега), то больше никаких дополнительных вычислений не требуется.
Альтернативно, можно взять результат из пункта в) и разделить его на 2, так как в данном случае рассматривается ровно половина всех возможных случаев из пункта в): $1440 / 2 = 720$.
Ответ: 720