Номер 748, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

748. Найдите значение выражения:

а) $\frac{15!}{14!}$

б) $\frac{8!}{10!}$

в) $\frac{42!}{40!}$

г) $\frac{16!}{14! \cdot 3!}$

д) $\frac{28!}{4! \cdot 26!}$

е) $\frac{45!}{43! \cdot 3!}$

Чтобы найти значение выражения $\frac{15!}{14!}$, воспользуемся определением факториала: $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$. Также можно записать, что $n! = (n-1)! \cdot n$.
Таким образом, мы можем представить $15!$ как $14! \cdot 15$.
$\frac{15!}{14!} = \frac{14! \cdot 15}{14!}$
Сократив $14!$ в числителе и знаменателе, получаем:
$\frac{15}{1} = 15$.
Ответ: 15.

Чтобы найти значение выражения $\frac{8!}{10!}$, представим факториал в знаменателе через факториал в числителе:
$10! = 8! \cdot 9 \cdot 10$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{8!}{10!} = \frac{8!}{8! \cdot 9 \cdot 10}$
Сократим $8!$:
$\frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{1}{90}$.
Ответ: $\frac{1}{90}$.

Чтобы найти значение выражения $\frac{42!}{40!}$, представим $42!$ как $40! \cdot 41 \cdot 42$.
$\frac{42!}{40!} = \frac{40! \cdot 41 \cdot 42}{40!}$
Сократим $40!$:
$41 \cdot 42 = 1722$.
Ответ: 1722.

Для вычисления выражения $\frac{16!}{14! \cdot 3!}$ раскроем $16!$ и $3!$.
$16! = 14! \cdot 15 \cdot 16$.
$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.
Подставим эти значения в дробь:
$\frac{16!}{14! \cdot 3!} = \frac{14! \cdot 15 \cdot 16}{14! \cdot 6}$
Сократим $14!$:
$\frac{15 \cdot 16}{6}$
Можно сократить 15 и 6 на 3, а 16 и 2 (оставшееся от 6) на 2:
$\frac{5 \cdot 16}{2} = 5 \cdot 8 = 40$.
Ответ: 40.

Чтобы найти значение выражения $\frac{28!}{4! \cdot 26!}$, раскроем $28!$ и $4!$.
$28! = 26! \cdot 27 \cdot 28$.
$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{28!}{4! \cdot 26!} = \frac{26! \cdot 27 \cdot 28}{24 \cdot 26!}$
Сократим $26!$:
$\frac{27 \cdot 28}{24}$
Сократим дробь. 24 и 28 делятся на 4:
$\frac{27 \cdot 7}{6}$
Теперь сократим 27 и 6 на 3:
$\frac{9 \cdot 7}{2} = \frac{63}{2} = 31,5$.
Ответ: 31,5.

Для вычисления выражения $\frac{45!}{43! \cdot 3!}$ раскроем $45!$ и $3!$.
$45! = 43! \cdot 44 \cdot 45$.
$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.
Подставим значения в дробь:
$\frac{45!}{43! \cdot 3!} = \frac{43! \cdot 44 \cdot 45}{43! \cdot 6}$
Сократим $43!$:
$\frac{44 \cdot 45}{6}$
Сократим 44 и 6 на 2, а 45 и 3 (оставшееся от 6) на 3:
$\frac{22 \cdot 45}{3} = 22 \cdot 15 = 330$.
Ответ: 330.