Номер 749, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

749. Вычислите значение выражения:

а) $ \frac{12!}{9!} $;

б) $ \frac{14!}{12!} $;

в) $ \frac{30!}{29! \cdot 2!} $;

г) $ \frac{36!}{2! \cdot 34!} $;

д) $ \frac{15!}{2! \cdot 16!} $;

е) $ \frac{25!}{23! \cdot 5!} $

а) Для вычисления значения выражения $\frac{12!}{9!}$ воспользуемся определением факториала: $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$. Основное свойство, которое мы будем использовать: $n! = n \cdot (n-1)!$. Распишем числитель до $9!$ и сократим дробь:

$\frac{12!}{9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{9!} = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320$

Ответ: 1320

б) Аналогично предыдущему пункту, распишем $14!$ в числителе до $12!$ и сократим:

$\frac{14!}{12!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12!}{12!} = 14 \cdot 13 = 182$

Ответ: 182

в) В выражении $\frac{30!}{29! \cdot 2!}$ распишем $30!$ как $30 \cdot 29!$ и вычислим $2! = 2 \cdot 1 = 2$:

$\frac{30!}{29! \cdot 2!} = \frac{30 \cdot 29!}{29! \cdot 2} = \frac{30}{2} = 15$

Ответ: 15

г) Данное выражение $\frac{36!}{2! \cdot 34!}$ можно упростить, расписав $36!$ до $34!$ для сокращения:

$\frac{36!}{2! \cdot 34!} = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34!}{2 \cdot 1 \cdot 34!} = \frac{36 \cdot 35}{2} = 18 \cdot 35 = 630$

Ответ: 630

д) В выражении $\frac{15!}{2! \cdot 16!}$ факториал в знаменателе ($16!$) больше, чем в числителе ($15!$). Распишем $16!$ как $16 \cdot 15!$:

$\frac{15!}{2! \cdot 16!} = \frac{15!}{(2 \cdot 1) \cdot (16 \cdot 15!)} = \frac{15!}{2 \cdot 16 \cdot 15!} = \frac{1}{32}$

Ответ: $\frac{1}{32}$

е) Для вычисления выражения $\frac{25!}{23! \cdot 5!}$ распишем $25!$ до $23!$ и вычислим значение $5!$ в знаменателе:

$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

$\frac{25!}{23! \cdot 5!} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23!}{23! \cdot 120} = \frac{25 \cdot 24}{120} = \frac{600}{120} = 5$

Ответ: 5