Номер 750, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Перестановки. § 11. Элементы комбинаторики. Глава 5. Элементы комбинаторики и теории вероятностей - номер 750, страница 190.

750. Что больше и во сколько раз:

а) $6! \cdot 5$ или $5! \cdot 6$;

б) $(n + 1)! \cdot n$ или $n! \cdot (n + 1)?$

а) Сравним выражения $6! \cdot 5$ и $5! \cdot 6$. Используя определение факториала $6! = 5! \cdot 6$, преобразуем первое выражение: $6! \cdot 5 = (5! \cdot 6) \cdot 5 = 5! \cdot 30$. Теперь сравним полученное выражение $5! \cdot 30$ со вторым выражением $5! \cdot 6$. Так как $30 > 6$, очевидно, что первое выражение больше. Чтобы найти, во сколько раз оно больше, найдем их отношение: $\frac{6! \cdot 5}{5! \cdot 6} = \frac{(5! \cdot 6) \cdot 5}{5! \cdot 6} = 5$.
Ответ: Выражение $6! \cdot 5$ больше, чем $5! \cdot 6$, в 5 раз.

б) Сравним выражения $(n+1)! \cdot n$ и $n! \cdot (n+1)$. По определению факториала, $(n+1)! = n! \cdot (n+1)$. Это означает, что второе выражение равно $(n+1)!$. Таким образом, мы сравниваем $(n+1)! \cdot n$ с $(n+1)!$. Чтобы найти, во сколько раз одно больше другого, вычислим их отношение (при условии, что $n$ — целое неотрицательное число): $\frac{(n+1)! \cdot n}{(n+1)!} = n$. Анализ этого отношения показывает: если $n > 1$, то первое выражение больше второго в $n$ раз; если $n = 1$, то отношение равно 1, и выражения равны; если $n = 0$, то первое выражение равно 0, а второе равно 1, то есть второе выражение больше.
Ответ: Если $n > 1$, то выражение $(n+1)! \cdot n$ больше в $n$ раз; если $n = 1$, выражения равны; если $n=0$, выражение $n! \cdot (n+1)$ больше.