Номер 757, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

757. Сколькими способами тренер может определить, кто из 12 спортсменов, готовых к участию в эстафете $4 \times 100$ м, побежит на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Для решения этой задачи необходимо определить количество способов выбрать 4 спортсменки из 12 и расставить их по четырем разным этапам эстафеты. Поскольку порядок, в котором спортсменки будут бежать (кто на каком этапе), важен, мы имеем дело с размещениями.

Задача сводится к нахождению числа размещений из $n=12$ элементов по $k=4$. Формула для числа размещений выглядит следующим образом:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Подставим наши значения $n=12$ и $k=4$ в формулу:

$A_{12}^4 = \frac{12!}{(12-4)!} = \frac{12!}{8!}$

Распишем факториалы и выполним сокращение:

$A_{12}^4 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!}{8!} = 12 \times 11 \times 10 \times 9$

Вычислим результат:

$12 \times 11 \times 10 \times 9 = 132 \times 90 = 11880$

Эту же задачу можно решить, используя комбинаторное правило умножения. Рассуждаем последовательно:

• На первый этап можно выбрать любую из 12 спортсменок (12 способов).
• После выбора первой, на второй этап остается 11 спортсменок (11 способов).
• На третий этап остается 10 спортсменок (10 способов).
• На четвертый, последний, этап остается 9 спортсменок (9 способов).

Общее число способов равно произведению числа способов для каждого этапа:

Количество способов = $12 \times 11 \times 10 \times 9 = 11880$

Таким образом, у тренера есть 11880 способов определить состав эстафетной команды с распределением по этапам.

Ответ: 11880