Номер 759, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

759. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в которой стоит 20 одноместных столов?

Эта задача решается с помощью методов комбинаторики. Нам нужно определить, сколькими способами можно разместить 6 уникальных студентов на 20 уникальных местах. Поскольку важен не только выбор 6 мест из 20, но и то, какой именно студент какое место займет, мы имеем дело с размещениями.

Число размещений из n элементов по k (в нашем случае из 20 столов по 6 студентам) вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Где:
n = 20 (общее количество доступных столов).
k = 6 (количество студентов, которых нужно рассадить).

Также можно рассуждать последовательно, используя правило произведения:
- У первого студента есть 20 вариантов, куда сесть.
- После того как первый студент занял место, у второго остается 19 свободных столов, то есть 19 вариантов.
- У третьего студента остается 18 вариантов.
- У четвертого — 17 вариантов.
- У пятого — 16 вариантов.
- У шестого — 15 вариантов.

Общее количество способов будет равно произведению числа вариантов для каждого студента:

$N = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15$

Этот расчет эквивалентен вычислению по формуле размещений:

$A_{20}^6 = \frac{20!}{(20-6)!} = \frac{20!}{14!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14!}{14!} = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15$

Выполним вычисления:

$20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 = 27\,907\,200$

Таким образом, существует 27 907 200 способов рассадить 6 студентов в аудитории с 20 столами.

Ответ: 27 907 200.