Страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

754. Сколькими способами может разместиться семья из трёх человек в четырёхместном купе, если других пассажиров в купе нет?

Эта задача решается с помощью методов комбинаторики. Нам нужно найти количество способов разместить 3 различных человека в 4 различных местах. Поскольку и люди, и места различны, порядок их расположения имеет значение. Такая задача сводится к нахождению числа размещений.

Рассуждать можно пошагово, используя правило умножения.
1. Для первого члена семьи есть 4 свободных места на выбор.
2. После того как первый человек выбрал место, для второго члена семьи остается $4 - 1 = 3$ свободных места.
3. Для третьего члена семьи остается $3 - 1 = 2$ свободных места.

Общее количество способов размещения равно произведению числа вариантов для каждого члена семьи:
$N = 4 \times 3 \times 2 = 24$

Другой способ — использовать формулу для числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В данном случае у нас $n=4$ (количество мест) и $k=3$ (количество человек).
Подставляем значения в формулу:
$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1} = 24$

Оба способа дают одинаковый результат. Таким образом, существует 24 способа разместить семью из трёх человек в четырёхместном купе.

Ответ: 24

755. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Эта задача решается с помощью методов комбинаторики. Нам необходимо выбрать двух человек из 30 на две различные должности: председателя и секретаря. Поскольку должности разные, порядок выбора имеет значение. Это означает, что выбор "Иванов — председатель, Петров — секретарь" и выбор "Петров — председатель, Иванов — секретарь" являются двумя разными способами. Такие упорядоченные выборки называются размещениями.

Решить задачу можно двумя способами.

Способ 1: Использование правила произведения.

1. Сначала выберем председателя. На эту должность может быть выбран любой из 30 участников. Следовательно, у нас есть 30 вариантов выбора.

2. После того как председатель выбран, он не может быть секретарем. Таким образом, на должность секретаря остается $30 - 1 = 29$ кандидатов. Следовательно, у нас есть 29 вариантов выбора секретаря.

Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить число вариантов для каждого шага:

$N = 30 \times 29 = 870$

Способ 2: Использование формулы для числа размещений.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ (когда порядок важен и элементы не повторяются) вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее число участников $n = 30$, а количество должностей $k = 2$. Подставляем эти значения в формулу:

$A_{30}^2 = \frac{30!}{(30-2)!} = \frac{30!}{28!} = \frac{30 \times 29 \times 28!}{28!} = 30 \times 29 = 870$

Оба способа дают одинаковый результат. Таким образом, существует 870 различных способов выбрать председателя и секретаря.

Ответ: 870

756. На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?

В данной задаче нам нужно определить, сколькими способами можно расставить 4 поезда на 7 свободных путях. Мы предполагаем, что все поезда различны (например, имеют разные номера) и все пути тоже различны (пронумерованы). Так как один поезд может занимать только один путь, и порядок расположения поездов важен (постановка поезда А на путь 1 и поезда Б на путь 2 отличается от постановки поезда Б на путь 1 и поезда А на путь 2), то мы имеем дело с задачей на нахождение числа размещений.

Число размещений — это количество способов выбрать и упорядочить $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов. Формула для числа размещений $A_n^k$:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее количество путей $n = 7$, а количество поездов, которые нужно расставить, $k = 4$.

Подставим значения в формулу:
$A_7^4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!}$

Теперь вычислим значение, раскрыв факториалы:
$A_7^4 = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$

Задачу также можно решить, используя правило умножения.
Для первого поезда существует 7 вариантов выбора пути.
После того как первый поезд размещен, для второго поезда остается 6 свободных путей.
Для третьего поезда остается 5 свободных путей.
Для четвертого поезда — 4 свободных пути.
Общее количество способов является произведением числа вариантов для каждого поезда:
$7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$

Ответ: 840.

757. Сколькими способами тренер может определить, кто из 12 спортсменов, готовых к участию в эстафете $4 \times 100$ м, побежит на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Для решения этой задачи необходимо определить количество способов выбрать 4 спортсменки из 12 и расставить их по четырем разным этапам эстафеты. Поскольку порядок, в котором спортсменки будут бежать (кто на каком этапе), важен, мы имеем дело с размещениями.

Задача сводится к нахождению числа размещений из $n=12$ элементов по $k=4$. Формула для числа размещений выглядит следующим образом:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Подставим наши значения $n=12$ и $k=4$ в формулу:

$A_{12}^4 = \frac{12!}{(12-4)!} = \frac{12!}{8!}$

Распишем факториалы и выполним сокращение:

$A_{12}^4 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!}{8!} = 12 \times 11 \times 10 \times 9$

Вычислим результат:

$12 \times 11 \times 10 \times 9 = 132 \times 90 = 11880$

Эту же задачу можно решить, используя комбинаторное правило умножения. Рассуждаем последовательно:

• На первый этап можно выбрать любую из 12 спортсменок (12 способов).
• После выбора первой, на второй этап остается 11 спортсменок (11 способов).
• На третий этап остается 10 спортсменок (10 способов).
• На четвертый, последний, этап остается 9 спортсменок (9 способов).

Общее число способов равно произведению числа способов для каждого этапа:

Количество способов = $12 \times 11 \times 10 \times 9 = 11880$

Таким образом, у тренера есть 11880 способов определить состав эстафетной команды с распределением по этапам.

Ответ: 11880

758. В круговой диаграмме круг разбит на 5 секторов. Секторы решили закрасить разными красками, взятыми из набора, содержащего 10 красок: Сколькими способами это можно сделать?

Данная задача является комбинаторной и связана с нахождением числа размещений без повторений. Нам нужно выбрать 5 различных красок из 10 и присвоить каждую из них одному из 5 секторов. Поскольку секторы в диаграмме различимы (например, по своему положению), а краски по условию должны быть разными, важен порядок их распределения. Следовательно, мы ищем количество способов упорядоченного выбора 5 элементов из 10.

Количество способов выбрать и расположить $k$ различных элементов из множества, содержащего $n$ элементов, называется числом размещений из $n$ по $k$ и вычисляется по формуле:

$A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n-k)!} = n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1)$

В нашем случае:

• $n = 10$ – общее количество доступных красок.
• $k = 5$ – количество секторов, которые нужно закрасить.

Подставим эти значения в формулу:

$A_{10}^{5} = \frac{10!}{(10-5)!} = \frac{10!}{5!}$

Можно также рассуждать последовательно, используя правило умножения:

• Для первого сектора можно выбрать любую из 10 красок (10 способов).
• Для второго сектора останется 9 красок, так как одна уже использована (9 способов).
• Для третьего сектора останется 8 красок (8 способов).
• Для четвертого сектора — 7 красок (7 способов).
• Для пятого сектора — 6 красок (6 способов).

Общее количество способов равно произведению числа вариантов для каждого шага:

Количество способов = $10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6$

Выполним вычисление:

$10 \times 9 = 90$

$90 \times 8 = 720$

$720 \times 7 = 5040$

$5040 \times 6 = 30240$

Таким образом, существует 30 240 способов закрасить 5 секторов круговой диаграммы десятью различными красками.

Ответ: 30240

759. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в которой стоит 20 одноместных столов?

Эта задача решается с помощью методов комбинаторики. Нам нужно определить, сколькими способами можно разместить 6 уникальных студентов на 20 уникальных местах. Поскольку важен не только выбор 6 мест из 20, но и то, какой именно студент какое место займет, мы имеем дело с размещениями.

Число размещений из n элементов по k (в нашем случае из 20 столов по 6 студентам) вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Где:
n = 20 (общее количество доступных столов).
k = 6 (количество студентов, которых нужно рассадить).

Также можно рассуждать последовательно, используя правило произведения:
- У первого студента есть 20 вариантов, куда сесть.
- После того как первый студент занял место, у второго остается 19 свободных столов, то есть 19 вариантов.
- У третьего студента остается 18 вариантов.
- У четвертого — 17 вариантов.
- У пятого — 16 вариантов.
- У шестого — 15 вариантов.

Общее количество способов будет равно произведению числа вариантов для каждого студента:

$N = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15$

Этот расчет эквивалентен вычислению по формуле размещений:

$A_{20}^6 = \frac{20!}{(20-6)!} = \frac{20!}{14!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14!}{14!} = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15$

Выполним вычисления:

$20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 = 27\,907\,200$

Таким образом, существует 27 907 200 способов рассадить 6 студентов в аудитории с 20 столами.

Ответ: 27 907 200.

760. На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно вложить в свободные места:

а) 2 фотографии;

б) 4 фотографии;

в) 6 фотографий?

Данная задача решается с использованием формул комбинаторики. Так как порядок расположения фотографий на странице важен (фотографии и места на странице различны), мы будем использовать формулу для нахождения числа размещений. Размещение — это комбинаторная конфигурация, в которой важен порядок элементов.

Число способов разместить k различных объектов по n различным местам (число размещений из n по k) обозначается $A_n^k$ и вычисляется по формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашей задаче общее количество свободных мест для фотографий n = 6.

а) 2 фотографии

Нужно найти, сколькими способами можно разместить k = 2 фотографии на n = 6 местах.
Можно рассуждать логически: для первой фотографии есть 6 вариантов выбора места. После того как место для первой фотографии выбрано, для второй остается 5 свободных мест. Общее число способов равно произведению числа вариантов для каждой фотографии:
$6 \times 5 = 30$.
Используя формулу для числа размещений, получаем тот же самый результат:
$A_6^2 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 6 \times 5 = 30$.
Ответ: 30 способами.

б) 4 фотографии

Здесь необходимо разместить k = 4 фотографии на n = 6 местах.
Рассуждаем последовательно: для первой фотографии — 6 вариантов, для второй — 5, для третьей — 4, а для четвертой — 3. Общее число способов:
$6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$.
По формуле размещений:
$A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.
Ответ: 360 способами.

в) 6 фотографий

В этом случае нужно разместить k = 6 фотографий на n = 6 местах. Такая задача сводится к нахождению числа перестановок 6 элементов. Число перестановок из n элементов обозначается $P_n$ и равно $n!$.
$P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.
Используя формулу размещений, где k = n, мы получаем тот же результат (по определению $0!=1$):
$A_6^6 = \frac{6!}{(6-6)!} = \frac{6!}{0!} = 6! = 720$.
Ответ: 720 способами.

761. На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать (в латинском алфавите 26 букв)?

Эта задача решается с помощью методов комбинаторики. Нам необходимо найти количество способов обозначить 5 различных точек 5 различными буквами, выбирая их из 26 букв латинского алфавита. Так как точки различны, то и буквы, их обозначающие, должны быть различными. Порядок присвоения букв точкам важен (например, если мы поменяем местами обозначения двух точек, это будет уже другой способ), поэтому мы имеем дело с размещениями без повторений.

Для первой точки можно выбрать любую из 26 букв.

Для второй точки останется на выбор $26 - 1 = 25$ букв.

Для третьей точки останется $25 - 1 = 24$ буквы.

Для четвертой точки — 23 буквы.

Для пятой точки — 22 буквы.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число способов равно произведению числа вариантов для каждого шага:

$N = 26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22$

Это число является числом размещений из 26 элементов по 5 и вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Где $n=26$ — общее количество букв, а $k=5$ — количество точек, которые нужно обозначить.

$A_{26}^5 = \frac{26!}{(26-5)!} = \frac{26!}{21!} = 26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22$

Выполним вычисления:

$26 \times 25 = 650$

$650 \times 24 = 15\,600$

$15\,600 \times 23 = 358\,800$

$358\,800 \times 22 = 7\,893\,600$

Ответ: $7\,893\,600$.

762. Сколько четырёхзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр:

a) 1, 3, 5, 7, 9;

б) 0, 2, 4, 6, 8?

а)

Нам нужно составить четырёхзначные числа из пяти предложенных цифр: 1, 3, 5, 7, 9. Важно, что все цифры в числе должны быть различными.

Это задача на размещения без повторений. Мы выбираем 4 цифры из 5 и расставляем их по четырём позициям (тысячи, сотни, десятки, единицы).

Рассуждать можно по шагам:

• На первую позицию (разряд тысяч) мы можем поставить любую из 5 цифр.
• На вторую позицию (разряд сотен) мы можем поставить любую из оставшихся 4 цифр.
• На третью позицию (разряд десятков) остаётся 3 варианта.
• На четвёртую позицию (разряд единиц) остаётся 2 варианта.

Общее количество таких чисел находится перемножением числа вариантов для каждой позиции: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.

Формально это число размещений из 5 элементов по 4, которое вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$:

$A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Ответ: 120

б)

Здесь нам нужно составить четырёхзначные числа из цифр 0, 2, 4, 6, 8. Как и в предыдущем пункте, цифры в числе не должны повторяться.

Главное отличие этого случая в наличии цифры 0. Четырёхзначное число не может начинаться с нуля.

Рассуждаем по позициям:

• На первую позицию (разряд тысяч) мы не можем поставить 0. Поэтому у нас есть только 4 варианта (2, 4, 6, 8).
• На вторую позицию (разряд сотен) мы можем поставить любую из оставшихся 4 цифр. Одна цифра уже использована для первой позиции, но теперь мы можем использовать 0.
• На третью позицию (разряд десятков) мы можем выбрать любую из оставшихся 3 цифр.
• На четвёртую позицию (разряд единиц) остаётся 2 варианта.

Перемножаем количество вариантов для каждой позиции: $4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96$.

Можно решить и другим способом: сначала найти общее число всех возможных размещений из 5 цифр по 4 (включая те, что начинаются с нуля), а затем вычесть из них количество "неправильных" чисел (тех, которые начинаются с 0).

1. Общее число размещений из 5 по 4: $A_5^4 = 120$.
2. Число комбинаций, начинающихся с 0: если первая цифра 0, то оставшиеся 3 цифры нужно выбрать из 4-х (2, 4, 6, 8). Это число размещений из 4 по 3: $A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = 4! = 4 \times 3 \times 2 = 24$.
3. Искомое количество чисел: $120 - 24 = 96$.

Ответ: 96

763. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

Для нахождения количества семизначных телефонных номеров с различными цифрами, в которых первая цифра не равна нулю, необходимо последовательно подсчитать количество вариантов для каждой из семи позиций в номере. Мы будем использовать цифры от 0 до 9 (всего 10 цифр).

Для первой цифры: по условию, она не может быть нулём. Это означает, что для первой позиции подходят цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Таким образом, есть 9 вариантов выбора.

Для второй цифры: она должна быть отличной от первой. Одна цифра уже использована, но теперь можно использовать 0. Из 10 исходных цифр остаётся $10 - 1 = 9$ доступных вариантов.

Для третьей цифры: она должна отличаться от первых двух. Так как две разные цифры уже заняты, остаётся $10 - 2 = 8$ вариантов.

Для четвертой цифры: по аналогии, остаётся $10 - 3 = 7$ вариантов.

Для пятой цифры: остаётся $10 - 4 = 6$ вариантов.

Для шестой цифры: остаётся $10 - 5 = 5$ вариантов.

Для седьмой цифры: остаётся $10 - 6 = 4$ варианта.

Чтобы найти общее количество таких телефонных номеров, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции, используя комбинаторное правило произведения:

$N = 9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4$

Выполним вычисления:

$N = 544320$

Эту же задачу можно решить с помощью формулы для числа размещений без повторений. Количество способов выбрать первую цифру равно 9. После этого нам нужно выбрать и расположить оставшиеся 6 цифр из оставшихся 9 (все цифры, кроме первой, включая 0). Это число размещений из 9 элементов по 6, обозначаемое $A_9^6$.

$A_9^6 = \frac{9!}{(9-6)!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 60480$

Итоговое количество номеров равно произведению числа способов выбора первой цифры на число размещений для остальных шести:

$N = 9 \times A_9^6 = 9 \times 60480 = 544320$

Ответ: 544320