Страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

754. Сколькими способами может разместиться семья из трёх человек в четырёхместном купе, если других пассажиров в купе нет?

755. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

756. На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?

757. Сколькими способами тренер может определить, кто из 12 спортсменов, готовых к участию в эстафете $4 \times 100$ м, побежит на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

758. В круговой диаграмме круг разбит на 5 секторов. Секторы решили закрасить разными красками, взятыми из набора, содержащего 10 красок: Сколькими способами это можно сделать?

Данная задача является комбинаторной и связана с нахождением числа размещений без повторений. Нам нужно выбрать 5 различных красок из 10 и присвоить каждую из них одному из 5 секторов. Поскольку секторы в диаграмме различимы (например, по своему положению), а краски по условию должны быть разными, важен порядок их распределения. Следовательно, мы ищем количество способов упорядоченного выбора 5 элементов из 10.

Количество способов выбрать и расположить $k$ различных элементов из множества, содержащего $n$ элементов, называется числом размещений из $n$ по $k$ и вычисляется по формуле:

$A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n-k)!} = n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1)$

В нашем случае:

• $n = 10$ – общее количество доступных красок.
• $k = 5$ – количество секторов, которые нужно закрасить.

Подставим эти значения в формулу:

$A_{10}^{5} = \frac{10!}{(10-5)!} = \frac{10!}{5!}$

Можно также рассуждать последовательно, используя правило умножения:

• Для первого сектора можно выбрать любую из 10 красок (10 способов).
• Для второго сектора останется 9 красок, так как одна уже использована (9 способов).
• Для третьего сектора останется 8 красок (8 способов).
• Для четвертого сектора — 7 красок (7 способов).
• Для пятого сектора — 6 красок (6 способов).

Общее количество способов равно произведению числа вариантов для каждого шага:

Количество способов = $10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6$

Выполним вычисление:

$10 \times 9 = 90$

$90 \times 8 = 720$

$720 \times 7 = 5040$

$5040 \times 6 = 30240$

Таким образом, существует 30 240 способов закрасить 5 секторов круговой диаграммы десятью различными красками.

Ответ: 30240

759. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в которой стоит 20 одноместных столов?

760. На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно вложить в свободные места:

а) 2 фотографии;

б) 4 фотографии;

в) 6 фотографий?

761. На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать (в латинском алфавите 26 букв)?

762. Сколько четырёхзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр:

a) 1, 3, 5, 7, 9;

б) 0, 2, 4, 6, 8?

763. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?