Страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

751. Упростите выражение:

а) $\left(\frac{a-3}{a^2-3a+9} - \frac{6a-18}{a^3+27}\right) : \frac{5a-15}{4a^3+108};$

б) $\frac{ab^2-a^2b}{a+b} \cdot \frac{a+\frac{ab}{a-b}}{a-\frac{ab}{a+b}}.$

а)

Исходное выражение: $(\frac{a-3}{a^2-3a+9} - \frac{6a-18}{a^3+27}) : \frac{5a-15}{4a^3+108}$.

1. Сначала упростим выражение в скобках. Для этого разложим на множители знаменатели и числители.

Знаменатель второй дроби $a^3+27$ является суммой кубов: $a^3+3^3=(a+3)(a^2-3a+9)$.

Числитель второй дроби $6a-18$ можно упростить, вынеся общий множитель 6: $6(a-3)$.

Подставим разложенные выражения в скобки:

$\frac{a-3}{a^2-3a+9} - \frac{6(a-3)}{(a+3)(a^2-3a+9)}$

Общий знаменатель для дробей в скобках — это $(a+3)(a^2-3a+9)$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{(a-3)(a+3)}{(a+3)(a^2-3a+9)} - \frac{6(a-3)}{(a+3)(a^2-3a+9)} = \frac{(a-3)(a+3) - 6(a-3)}{(a+3)(a^2-3a+9)}$

В числителе вынесем общий множитель $(a-3)$ за скобку:

$\frac{(a-3)((a+3)-6)}{(a+3)(a^2-3a+9)} = \frac{(a-3)(a-3)}{(a+3)(a^2-3a+9)} = \frac{(a-3)^2}{a^3+27}$

2. Теперь выполним деление. Разложим на множители числитель и знаменатель второго выражения:

$5a-15 = 5(a-3)$

$4a^3+108 = 4(a^3+27)$

Таким образом, исходное выражение принимает вид:

$\frac{(a-3)^2}{a^3+27} : \frac{5(a-3)}{4(a^3+27)}$

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь:

$\frac{(a-3)^2}{a^3+27} \cdot \frac{4(a^3+27)}{5(a-3)}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(a^3+27)$ и $(a-3)$.

$\frac{(a-3)^{\cancel{2}}}{ \cancel{a^3+27}} \cdot \frac{4(\cancel{a^3+27})}{5(\cancel{a-3})} = \frac{4(a-3)}{5}$

Ответ: $\frac{4(a-3)}{5}$

б)

Исходное выражение: $\frac{ab^2-a^2b}{a+b} \cdot \frac{a+\frac{ab}{a-b}}{a-\frac{ab}{a+b}}$.

Упростим выражение по частям.

1. Упростим первый множитель $\frac{ab^2-a^2b}{a+b}$. Вынесем в числителе общий множитель $ab$:

$\frac{ab(b-a)}{a+b} = \frac{-ab(a-b)}{a+b}$

2. Упростим второй множитель, который представляет собой сложную дробь. Сначала упростим числитель этой дроби:

$a+\frac{ab}{a-b} = \frac{a(a-b)}{a-b} + \frac{ab}{a-b} = \frac{a^2-ab+ab}{a-b} = \frac{a^2}{a-b}$

Теперь упростим знаменатель этой дроби:

$a-\frac{ab}{a+b} = \frac{a(a+b)}{a+b} - \frac{ab}{a+b} = \frac{a^2+ab-ab}{a+b} = \frac{a^2}{a+b}$

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{\frac{a^2}{a-b}}{\frac{a^2}{a+b}} = \frac{a^2}{a-b} \cdot \frac{a+b}{a^2} = \frac{a+b}{a-b}$

3. Перемножим результаты, полученные на шагах 1 и 2:

$\frac{-ab(a-b)}{a+b} \cdot \frac{a+b}{a-b}$

Сократим одинаковые множители $(a-b)$ и $(a+b)$:

$\frac{-ab\cancel{(a-b)}}{\cancel{a+b}} \cdot \frac{\cancel{a+b}}{\cancel{a-b}} = -ab$

Ответ: $-ab$

752. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} 7 - 3x - 4(3 - 1,5x) < 0, \\ -6(1 + 2,5x) - 10x - 4 > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2(1,5x - 1) - (x + 4) \ge 0, \\ -(2 - x) - 0,75x \le 0. \end{cases}$

а)

Решим первое неравенство системы:

$7 - 3x - 4(3 - 1.5x) < 0$

Раскроем скобки:

$7 - 3x - 12 + 6x < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(6x - 3x) + (7 - 12) < 0$

$3x - 5 < 0$

Перенесем -5 в правую часть с противоположным знаком:

$3x < 5$

Разделим обе части на 3:

$x < \frac{5}{3}$

Решим второе неравенство системы:

$-6(1 + 2.5x) - 10x - 4 > 0$

Раскроем скобки:

$-6 - 15x - 10x - 4 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(-15x - 10x) + (-6 - 4) > 0$

$-25x - 10 > 0$

Перенесем -10 в правую часть с противоположным знаком:

$-25x > 10$

Разделим обе части на -25, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < -\frac{10}{25}$

Сократим дробь:

$x < -\frac{2}{5}$

Или в виде десятичной дроби:

$x < -0.4$

Найдем пересечение решений двух неравенств: $x < \frac{5}{3}$ и $x < -0.4$. Поскольку $-0.4 < \frac{5}{3}$, общим решением будет $x < -0.4$.

Ответ: $(-\infty; -0.4)$

б)

Решим первое неравенство системы:

$2(1.5x - 1) - (x + 4) \ge 0$

Раскроем скобки:

$3x - 2 - x - 4 \ge 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x - x) + (-2 - 4) \ge 0$

$2x - 6 \ge 0$

Перенесем -6 в правую часть с противоположным знаком:

$2x \ge 6$

Разделим обе части на 2:

$x \ge 3$

Решим второе неравенство системы:

$-(2 - x) - 0.75x \le 0$

Раскроем скобки:

$-2 + x - 0.75x \le 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(1 - 0.75)x - 2 \le 0$

$0.25x - 2 \le 0$

Перенесем -2 в правую часть с противоположным знаком:

$0.25x \le 2$

Разделим обе части на 0.25:

$x \le \frac{2}{0.25}$

$x \le 8$

Найдем пересечение решений двух неравенств: $x \ge 3$ и $x \le 8$. Это означает, что решение системы находится в промежутке от 3 до 8, включая концы.

$3 \le x \le 8$

Ответ: $[3; 8]$

753. Пересекаются ли парабола $y = x^2 - 6x$ и прямая $y - 8x = 0$? Если да, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте ответ с помощью схематического рисунка.

Чтобы определить, пересекаются ли парабола и прямая, и найти координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений, задающих эти графики.

1. Составление и решение системы уравнений

Даны уравнения:
Парабола: $y = x^2 - 6x$
Прямая: $y - 8x = 0$

Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 8x$

Теперь приравняем правые части обоих уравнений, чтобы найти абсциссы ($x$) точек пересечения:
$x^2 - 6x = 8x$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 6x - 8x = 0$
$x^2 - 14x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 14) = 0$

Это уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = 0$
$x_2 = 14$

Поскольку мы получили два различных действительных корня для $x$, это означает, что парабола и прямая пересекаются в двух точках.

2. Нахождение координат точек пересечения

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$) для каждого найденного значения $x$, используя более простое уравнение прямой $y = 8x$.

Для $x_1 = 0$:
$y_1 = 8 \cdot 0 = 0$
Следовательно, первая точка пересечения имеет координаты $(0, 0)$.

Для $x_2 = 14$:
$y_2 = 8 \cdot 14 = 112$
Следовательно, вторая точка пересечения имеет координаты $(14, 112)$.

3. Схематический рисунок

Для построения схематического рисунка проанализируем каждую функцию.

Парабола $y = x^2 - 6x$:
- Это квадратичная функция, график которой — парабола.
- Ветви направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$).
- Координаты вершины: $x_v = -b/(2a) = -(-6)/(2 \cdot 1) = 3$. $y_v = 3^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9$. Вершина находится в точке $(3, -9)$.
- Пересечение с осями координат: точки $(0,0)$ и $(6,0)$.

Прямая $y = 8x$:
- Это линейная функция, график которой — прямая.
- Проходит через начало координат $(0, 0)$.
- Имеет положительный угловой коэффициент ($k=8$), следовательно, функция возрастает.

На схеме показаны парабола, прямая и их точки пересечения.

Ответ: Да, парабола $y = x^2 - 6x$ и прямая $y - 8x = 0$ пересекаются. Координаты точек пересечения: $(0, 0)$ и $(14, 112)$.