Страница 194 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

764. Сколько можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (без их повторения) различных трёхзначных чисел, которые являются:

a) чётными;

б) кратными 5?

Для решения этой задачи мы будем использовать основное правило комбинаторики — правило произведения. Нам даны цифры 1, 2, 3, 4, 5, из которых нужно составить различные трёхзначные числа без повторения цифр. Это означает, что каждая цифра в числе может быть использована только один раз. Трёхзначное число имеет три разряда: сотни, десятки и единицы.

а) чётными;

Чтобы число было чётным, его последняя цифра (в разряде единиц) должна быть чётной. Из имеющегося набора цифр {1, 2, 3, 4, 5} чётными являются 2 и 4.

Будем последовательно выбирать цифры для каждого разряда, начиная с разряда единиц, так как на него наложено ограничение:

1. Разряд единиц: можно выбрать одну из двух цифр (2 или 4). Следовательно, есть 2 способа.
2. Разряд сотен: после выбора цифры для единиц у нас остаётся 4 цифры из пяти. Для разряда сотен можно выбрать любую из этих 4 оставшихся цифр. Следовательно, есть 4 способа.
3. Разряд десятков: после выбора цифр для единиц и сотен у нас остаётся 3 цифры. Для разряда десятков можно выбрать любую из этих 3 оставшихся цифр. Следовательно, есть 3 способа.

По правилу произведения, общее количество различных чётных трёхзначных чисел, которые можно составить, равно произведению числа способов для каждого разряда. Важно начинать подсчет с наиболее ограниченной позиции (единицы): $2 \text{ (единицы)} \times 4 \text{ (сотни)} \times 3 \text{ (десятки)} = 24$.

Ответ: 24.

б) кратными 5?

Чтобы число было кратным 5, его последняя цифра (в разряде единиц) должна быть 0 или 5. Из имеющегося набора цифр {1, 2, 3, 4, 5} этому условию удовлетворяет только цифра 5.

Будем последовательно выбирать цифры для каждого разряда:

1. Разряд единиц: можно выбрать только цифру 5. Следовательно, есть 1 способ.
2. Разряд сотен: после выбора цифры для единиц у нас остаётся 4 цифры ({1, 2, 3, 4}). Для разряда сотен можно выбрать любую из этих 4 цифр. Следовательно, есть 4 способа.
3. Разряд десятков: после выбора цифр для единиц и сотен у нас остаётся 3 цифры. Для разряда десятков можно выбрать любую из этих 3 цифр. Следовательно, есть 3 способа.

По правилу произведения, общее количество таких чисел равно: $1 \text{ (единицы)} \times 4 \text{ (сотни)} \times 3 \text{ (десятки)} = 12$.

Ответ: 12.

765. Решите двойное неравенство:

a) $-2 < \frac{4x - 1}{5} < 2$

б) $0,2 \le \frac{1 - 5x}{20} \le 0,4$

а)

Дано двойное неравенство: $-2 < \frac{4x - 1}{5} < 2$.

Для решения этого неравенства необходимо выполнить такие преобразования, чтобы в центральной части осталась только переменная $x$.

1. Умножим все три части неравенства на 5, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$-2 \cdot 5 < (\frac{4x - 1}{5}) \cdot 5 < 2 \cdot 5$

$-10 < 4x - 1 < 10$

2. Прибавим 1 ко всем частям неравенства, чтобы избавиться от -1 в центральной части:

$-10 + 1 < 4x - 1 + 1 < 10 + 1$

$-9 < 4x < 11$

3. Разделим все части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$\frac{-9}{4} < \frac{4x}{4} < \frac{11}{4}$

$-\frac{9}{4} < x < \frac{11}{4}$

Это неравенство можно записать в виде интервала. В десятичных дробях это выглядит так: $-2,25 < x < 2,75$.

Ответ: $(-\frac{9}{4}; \frac{11}{4})$

б)

Дано двойное неравенство: $0,2 \le \frac{1 - 5x}{20} \le 0,4$.

Решим его аналогично предыдущему пункту.

1. Умножим все три части неравенства на 20, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства не меняется:

$0,2 \cdot 20 \le (\frac{1 - 5x}{20}) \cdot 20 \le 0,4 \cdot 20$

$4 \le 1 - 5x \le 8$

2. Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$4 - 1 \le 1 - 5x - 1 \le 8 - 1$

$3 \le -5x \le 7$

3. Разделим все части неравенства на -5. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{3}{-5} \ge \frac{-5x}{-5} \ge \frac{7}{-5}$

$-\frac{3}{5} \ge x \ge -\frac{7}{5}$

4. Для удобства восприятия запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$-\frac{7}{5} \le x \le -\frac{3}{5}$

Это неравенство можно записать в виде отрезка. В десятичных дробях это выглядит так: $-1,4 \le x \le -0,6$.

Ответ: $[-\frac{7}{5}; -\frac{3}{5}]$

766. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 3y - 2x = 10, \\ 7x + 5y = 27; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 0,4x - 0,2y = 0,4, \\ x + 11y = 12,5. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3y - 2x = 10 \\ 7x + 5y = 27 \end{cases} $$

Для удобства решения приведем уравнения к стандартному виду $ax+by=c$:

$$ \begin{cases} -2x + 3y = 10 \\ 7x + 5y = 27 \end{cases} $$

Воспользуемся методом алгебраического сложения. Для этого умножим первое уравнение на 7, а второе на 2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.

$$ \begin{cases} 7 \cdot (-2x + 3y) = 7 \cdot 10 \\ 2 \cdot (7x + 5y) = 2 \cdot 27 \end{cases} $$

В результате получаем новую систему:

$$ \begin{cases} -14x + 21y = 70 \\ 14x + 10y = 54 \end{cases} $$

Теперь сложим левые и правые части уравнений:

$(-14x + 21y) + (14x + 10y) = 70 + 54$

$-14x + 14x + 21y + 10y = 124$

$31y = 124$

Отсюда находим значение $y$:

$y = \frac{124}{31} = 4$

Подставим найденное значение $y = 4$ в любое из исходных уравнений, например, в первое $3y - 2x = 10$:

$3(4) - 2x = 10$

$12 - 2x = 10$

$-2x = 10 - 12$

$-2x = -2$

$x = 1$

Таким образом, решение системы: $x=1, y=4$.

Ответ: $(1; 4)$

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 0.4x - 0.2y = 0.4 \\ x + 11y = 12.5 \end{cases} $$

Для упрощения вычислений избавимся от десятичных дробей в первом уравнении, умножив обе его части на 10:

$10 \cdot (0.4x - 0.2y) = 10 \cdot 0.4$

$4x - 2y = 4$

Можно заметить, что все члены этого уравнения делятся на 2. Разделим обе части на 2:

$2x - y = 2$

Теперь исходная система эквивалентна следующей:

$$ \begin{cases} 2x - y = 2 \\ x + 11y = 12.5 \end{cases} $$

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 2x - 2$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x + 11(2x - 2) = 12.5$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$x + 22x - 22 = 12.5$

$23x = 12.5 + 22$

$23x = 34.5$

$x = \frac{34.5}{23} = 1.5$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x=1.5$ в выражение $y = 2x - 2$:

$y = 2(1.5) - 2 = 3 - 2 = 1$

Таким образом, решение системы: $x=1.5, y=1$.

Ответ: $(1.5; 1)$

767. Найдите значение выражения:

а) $\frac{8!}{6! \cdot 2!}$;

б) $\frac{12!}{9! \cdot 3!}$;

в) $\frac{7! \cdot 5!}{8! \cdot 4!}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{8!}{6! \cdot 2!}$, воспользуемся свойством факториала $n! = (n-k)! \cdot (n-k+1) \cdot \dots \cdot n$. Распишем $8!$ как $6! \cdot 7 \cdot 8$.

$\frac{8!}{6! \cdot 2!} = \frac{6! \cdot 7 \cdot 8}{6! \cdot 2!}$

Сократим $6!$ в числителе и знаменателе. Также учтем, что $2! = 2 \cdot 1 = 2$.

$\frac{7 \cdot 8}{2!} = \frac{56}{2} = 28$

Ответ: 28

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{12!}{9! \cdot 3!}$, распишем $12!$ как $9! \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12$.

$\frac{12!}{9! \cdot 3!} = \frac{9! \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{9! \cdot 3!}$

Сократим $9!$ в числителе и знаменателе. Также учтем, что $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

$\frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{3!} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{6} = 10 \cdot 11 \cdot 2 = 220$

Ответ: 220

в) Чтобы найти значение выражения $\frac{7! \cdot 5!}{8! \cdot 4!}$, распишем $8!$ в знаменателе и $5!$ в числителе для удобства сокращения.

$8! = 8 \cdot 7!$

$5! = 5 \cdot 4!$

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$\frac{7! \cdot 5!}{8! \cdot 4!} = \frac{7! \cdot (5 \cdot 4!)}{(8 \cdot 7!) \cdot 4!}$

Теперь сократим одинаковые множители $7!$ и $4!$ в числителе и знаменателе.

$\frac{\cancel{7!} \cdot 5 \cdot \cancel{4!}}{8 \cdot \cancel{7!} \cdot \cancel{4!}} = \frac{5}{8}$

Ответ: $\frac{5}{8}$