Номер 766, страница 194 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

766. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 3y - 2x = 10, \\ 7x + 5y = 27; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 0,4x - 0,2y = 0,4, \\ x + 11y = 12,5. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3y - 2x = 10 \\ 7x + 5y = 27 \end{cases} $$

Для удобства решения приведем уравнения к стандартному виду $ax+by=c$:

$$ \begin{cases} -2x + 3y = 10 \\ 7x + 5y = 27 \end{cases} $$

Воспользуемся методом алгебраического сложения. Для этого умножим первое уравнение на 7, а второе на 2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.

$$ \begin{cases} 7 \cdot (-2x + 3y) = 7 \cdot 10 \\ 2 \cdot (7x + 5y) = 2 \cdot 27 \end{cases} $$

В результате получаем новую систему:

$$ \begin{cases} -14x + 21y = 70 \\ 14x + 10y = 54 \end{cases} $$

Теперь сложим левые и правые части уравнений:

$(-14x + 21y) + (14x + 10y) = 70 + 54$

$-14x + 14x + 21y + 10y = 124$

$31y = 124$

Отсюда находим значение $y$:

$y = \frac{124}{31} = 4$

Подставим найденное значение $y = 4$ в любое из исходных уравнений, например, в первое $3y - 2x = 10$:

$3(4) - 2x = 10$

$12 - 2x = 10$

$-2x = 10 - 12$

$-2x = -2$

$x = 1$

Таким образом, решение системы: $x=1, y=4$.

Ответ: $(1; 4)$

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 0.4x - 0.2y = 0.4 \\ x + 11y = 12.5 \end{cases} $$

Для упрощения вычислений избавимся от десятичных дробей в первом уравнении, умножив обе его части на 10:

$10 \cdot (0.4x - 0.2y) = 10 \cdot 0.4$

$4x - 2y = 4$

Можно заметить, что все члены этого уравнения делятся на 2. Разделим обе части на 2:

$2x - y = 2$

Теперь исходная система эквивалентна следующей:

$$ \begin{cases} 2x - y = 2 \\ x + 11y = 12.5 \end{cases} $$

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 2x - 2$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x + 11(2x - 2) = 12.5$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$x + 22x - 22 = 12.5$

$23x = 12.5 + 22$

$23x = 34.5$

$x = \frac{34.5}{23} = 1.5$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x=1.5$ в выражение $y = 2x - 2$:

$y = 2(1.5) - 2 = 3 - 2 = 1$

Таким образом, решение системы: $x=1.5, y=1$.

Ответ: $(1.5; 1)$