Номер 770, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

770. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу из комбинаторики, а именно формулу для числа сочетаний. Это связано с тем, что порядок, в котором ученик выбирает книги, не имеет значения. Важен только итоговый набор из 6 книг.

Нам дано общее количество книг, из которых производится выбор: $n = 10$.

Количество книг, которые необходимо выбрать: $k = 6$.

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ (обозначается как $C_n^k$):

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Где $n!$ (читается как "n факториал") — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно.

Подставим наши значения $n=10$ и $k=6$ в формулу:

$C_{10}^6 = \frac{10!}{6!(10-6)!} = \frac{10!}{6! \cdot 4!}$

Теперь выполним вычисления. Для удобства можно расписать факториалы и сократить одинаковые множители.

$C_{10}^6 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}$

Сократим $6!$ в числителе и знаменателе:

$C_{10}^6 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Проведем дальнейшие вычисления:

$C_{10}^6 = \frac{5040}{24} = 210$

Также можно было сократить множители в дроби: $8$ в числителе и $(4 \cdot 2)$ в знаменателе, а $9$ в числителе и $3$ в знаменателе.

$C_{10}^6 = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$

Таким образом, у ученика есть 210 различных способов выбрать 6 книг из списка 10.

Ответ: 210.