Номер 777, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

777. Сколько чётных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 6, 7, 8, 9 (без их повторения)?

Для решения данной задачи необходимо определить количество комбинаций, удовлетворяющих заданным условиям. Мы составляем четырёхзначное число из цифр 6, 7, 8, 9 без их повторения. Это означает, что каждое число будет состоять из всех четырёх предложенных цифр.

Ключевым условием является то, что число должно быть чётным. Чётность числа определяется его последней цифрой (цифрой в разряде единиц). Чтобы число было чётным, его последняя цифра должна быть чётной. В наборе {6, 7, 8, 9} есть две чётные цифры: 6 и 8.

Воспользуемся комбинаторным правилом произведения. Будем определять количество возможных вариантов для каждой позиции в четырёхзначном числе, начиная с последней, так как на неё наложено ограничение.

1. Выбор последней цифры (разряд единиц)
На эту позицию можно поставить только одну из чётных цифр. У нас есть 2 варианта: 6 или 8.

2. Выбор остальных трёх цифр
После выбора последней цифры у нас остаются 3 неиспользованные цифры, которые нужно разместить на оставшихся трёх позициях (тысячи, сотни и десятки).

• На первую позицию (разряд тысяч) можно поставить любую из 3 оставшихся цифр.
• На вторую позицию (разряд сотен), после выбора первой, можно поставить любую из 2 оставшихся цифр.
• На третью позицию (разряд десятков) остаётся только 1 последняя цифра.

Количество способов расставить 3 цифры по трём местам — это число перестановок из 3 элементов, которое вычисляется как $P_3 = 3!$.

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

3. Расчёт общего количества чисел
Чтобы найти общее количество возможных чётных чисел, нужно умножить количество вариантов для выбора последней цифры на количество способов расстановки остальных трёх цифр.

Общее количество = (Количество вариантов для последней цифры) $\times$ (Количество перестановок для первых трёх цифр)
Общее количество = $2 \times 3! = 2 \times 6 = 12$.

Таким образом, существует 12 способов составить чётное четырёхзначное число из цифр 6, 7, 8, 9 без их повторения.

Ответ: 12