Номер 775, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

775. В библиотеке читателю предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

В задачах 776–782 рассматриваются различные комбинации элементов (перестановки, размещения, сочетания).

Для решения этой задачи необходимо использовать методы комбинаторики. Поскольку порядок, в котором читатель выбирает книги или журналы, не имеет значения, мы будем использовать формулу для числа сочетаний. Решение можно разбить на три этапа: найти количество способов выбрать книги, найти количество способов выбрать журналы, а затем перемножить эти два значения, чтобы получить общее количество способов.

1. Вычисление количества способов выбрать 3 книги из 10.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ находится по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае общее количество книг $n=10$, а выбрать нужно $k=3$.

Подставим значения в формулу:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.

Таким образом, существует 120 способов выбрать 3 книги из 10.

2. Вычисление количества способов выбрать 2 журнала из 4.

Аналогично, для журналов общее количество $n=4$, а выбрать нужно $k=2$.

Подставим значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2 \cdot 1 \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.

Таким образом, существует 6 способов выбрать 2 журнала из 4.

3. Вычисление общего количества способов.

Чтобы найти общее количество способов выбрать 3 книги и 2 журнала, необходимо воспользоваться правилом произведения в комбинаторике: нужно перемножить количество способов для каждого независимого выбора.

Общее количество способов = (Количество способов выбрать книги) $\times$ (Количество способов выбрать журналы).

Общее количество способов = $C_{10}^3 \times C_4^2 = 120 \times 6 = 720$.

Ответ: 720.