Номер 779, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

779. В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них для предстоящего турнира:

а) команду из четырёх человек;

б) команду из четырёх человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть на первой, второй, третьей и четвёртой досках?

а) В этом случае необходимо выбрать команду из четырёх человек из 16, причём порядок выбора игроков не имеет значения. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний. Формула для числа сочетаний $k$ элементов из множества $n$ элементов выглядит так:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашем случае, общее количество человек $n = 16$, а количество человек в команде $k = 4$. Подставим эти значения в формулу:
$C_{16}^4 = \frac{16!}{4!(16-4)!} = \frac{16!}{4! \cdot 12!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
Сократим дробь для упрощения вычислений:
$C_{16}^4 = \frac{16}{4 \cdot 2} \cdot \frac{15}{3} \cdot 14 \cdot 13 = 2 \cdot 5 \cdot 14 \cdot 13 = 10 \cdot 182 = 1820$
Таким образом, существует 1820 способов сформировать команду из четырех человек.
Ответ: 1820

б) В этом случае нужно не только выбрать четырех игроков, но и распределить их по четырём разным доскам. Это означает, что порядок выбора игроков важен. Если поменять двух игроков местами, это будет уже другая расстановка. Такая задача решается с помощью формулы для числа размещений. Формула для числа размещений $k$ элементов из множества $n$ элементов:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
Здесь, как и в предыдущем пункте, $n = 16$ и $k = 4$.
$A_{16}^4 = \frac{16!}{(16-4)!} = \frac{16!}{12!} = 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13$
Выполним вычисления:
$16 \cdot 15 = 240$
$240 \cdot 14 = 3360$
$3360 \cdot 13 = 43680$
Также можно рассуждать следующим образом: на первую доску можно выбрать любого из 16 игроков, на вторую — любого из 15 оставшихся, на третью — из 14, и на четвертую — из 13. Общее число способов будет равно произведению этих возможностей: $16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 = 43680$.
Ответ: 43680