Номер 780, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

780. Максим подсчитал, что существует 378 способов выбора из их класса двух дежурных. Сколько учащихся в этом классе?

Пусть $n$ — это общее количество учащихся в классе. Нам необходимо найти это число.

Задача о выборе двух дежурных из $n$ учащихся является задачей на комбинаторику, а именно на нахождение числа сочетаний. Порядок выбора дежурных не важен (пара учеников {Иван, Мария} — это те же дежурные, что и {Мария, Иван}), поэтому мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае, общее число учащихся равно $n$, а выбрать нужно $k=2$ дежурных. По условию, число таких способов равно 378. Составим уравнение:

$C_n^2 = 378$

Подставим $k=2$ в формулу сочетаний и упростим ее:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

Теперь мы можем решить уравнение:

$\frac{n(n-1)}{2} = 378$

Умножим обе части на 2:

$n(n-1) = 378 \cdot 2$

$n(n-1) = 756$

Мы ищем два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 756. Можно решить квадратное уравнение $n^2 - n - 756 = 0$, либо подобрать числа.

Оценим значение $n$. Поскольку $\sqrt{756}$ близко к $\sqrt{784}=28$, проверим числа 27 и 28.

$28 \cdot 27 = 756$

Равенство выполняется, значит $n=28$.

Если решать квадратное уравнение $n^2 - n - 756 = 0$ через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-756) = 1 + 3024 = 3025 = 55^2$

$n_{1} = \frac{-(-1) + 55}{2 \cdot 1} = \frac{56}{2} = 28$

$n_{2} = \frac{-(-1) - 55}{2 \cdot 1} = \frac{-54}{2} = -27$

Так как количество учащихся не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -27$ не является решением задачи. Следовательно, в классе 28 учащихся.

Ответ: 28.