Номер 781, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

781. Из группы туристов четырёх дежурных можно выбрать в 13 раз большим числом способов, чем двух дежурных. Сколько туристов в группе?

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу из комбинаторики для числа сочетаний, так как порядок, в котором выбирают дежурных, не имеет значения.

Пусть $n$ — общее количество туристов в группе.

Число способов выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов, вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Число способов выбрать четырёх дежурных из $n$ туристов составляет:
$C_n^4 = \frac{n!}{4!(n-4)!} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$

Число способов выбрать двух дежурных из $n$ туристов составляет:
$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2 \cdot 1} = \frac{n(n-1)}{2}$

По условию задачи известно, что число способов выбрать четырёх дежурных в 13 раз больше, чем число способов выбрать двух. На основе этого можно составить уравнение:
$C_n^4 = 13 \cdot C_n^2$

Подставим выражения для $C_n^4$ и $C_n^2$ в уравнение:
$\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} = 13 \cdot \frac{n(n-1)}{2}$

Так как для выбора четырёх дежурных необходимо, чтобы общее число туристов было не меньше четырёх ($n \ge 4$), то множители $n$ и $(n-1)$ не равны нулю. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $n(n-1)$:
$\frac{(n-2)(n-3)}{24} = \frac{13}{2}$

Выразим произведение $(n-2)(n-3)$:
$(n-2)(n-3) = 13 \cdot \frac{24}{2}$
$(n-2)(n-3) = 13 \cdot 12$
$(n-2)(n-3) = 156$

Для нахождения $n$ раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$n^2 - 3n - 2n + 6 = 156$
$n^2 - 5n + 6 - 156 = 0$
$n^2 - 5n - 150 = 0$

Найдём корни уравнения с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 25 + 600 = 625$
$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$

Корни уравнения:
$n_1 = \frac{-(-5) + 25}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 25}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$n_2 = \frac{-(-5) - 25}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 25}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Количество туристов не может быть отрицательным числом, поэтому корень $n_2 = -10$ не соответствует условию задачи. Таким образом, в группе было 15 туристов.

Ответ: 15.