Номер 2, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Что означает запись $n!$? Найдите значение выражения $\frac{49!}{47! \cdot 3!}$

Что означает запись n!?

Запись $n!$ (читается как «эн факториал») — это математическая функция, которая обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно. Факториал определён для любого неотрицательного целого числа.

Формула для вычисления факториала натурального числа $n$:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$

Также по определению принято считать, что факториал нуля равен единице: $0! = 1$.

Примеры:
$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

В комбинаторике значение $n!$ равно числу всех возможных перестановок (способов упорядочивания) $n$ различных элементов.

Ответ: $n!$ — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

Найдите значение выражения $\frac{49!}{47! \cdot 3!}$

Для вычисления значения данного выражения воспользуемся свойством факториала: $n! = (n-k)! \cdot (n-k+1) \cdot \ldots \cdot n$.

Представим $49!$ через $47!$:
$49! = 47! \cdot 48 \cdot 49$

Теперь подставим это представление в исходное выражение:
$\frac{49!}{47! \cdot 3!} = \frac{47! \cdot 48 \cdot 49}{47! \cdot 3!}$

Сократим общий множитель $47!$ в числителе и знаменателе дроби:
$\frac{\cancel{47!} \cdot 48 \cdot 49}{\cancel{47!} \cdot 3!} = \frac{48 \cdot 49}{3!}$

Теперь вычислим значение $3!$ в знаменателе:
$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$

Подставим полученное значение в выражение:
$\frac{48 \cdot 49}{6}$

Разделим 48 на 6:
$\frac{48}{6} \cdot 49 = 8 \cdot 49$

Осталось выполнить умножение:
$8 \cdot 49 = 392$

Ответ: 392.