Номер 3, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

3 Что называется перестановкой из n элементов? Запишите формулу для вычисления числа перестановок из n элементов.

Что называется перестановкой из n элементов?

Перестановкой из $n$ элементов называется любое соединение, которое состоит из всех данных $n$ элементов и отличается от другого такого же соединения только порядком их расположения. Иными словами, перестановки — это различные упорядоченные наборы, которые можно составить из одного и того же множества элементов, используя все элементы по одному разу. В перестановках важен порядок следования элементов.

Например, для множества, состоящего из трёх элементов {А, Б, В}, можно составить следующие перестановки: (А, Б, В), (А, В, Б), (Б, А, В), (Б, В, А), (В, А, Б), (В, Б, А). Как видно из примера, всего существует 6 различных перестановок.

Ответ: Перестановка из $n$ элементов — это любой упорядоченный набор этих $n$ элементов.

Запишите формулу для вычисления числа перестановок из n элементов.

Число всех возможных перестановок из $n$ элементов обозначается символом $P_n$ и вычисляется с помощью понятия факториала.

Формула для вычисления числа перестановок из $n$ элементов выглядит следующим образом:
$P_n = n!$

Здесь $n!$ (читается как "эн факториал") — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$
Также по определению принято считать, что $0! = 1$.

Эта формула следует из комбинаторного правила умножения. Чтобы составить перестановку, нужно выбрать элемент для первой позиции — для этого есть $n$ вариантов. Для второй позиции остается $n-1$ вариант. Для третьей — $n-2$ варианта, и так далее. Для последней, $n$-й позиции остается всего один вариант. Общее число возможных перестановок равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $P_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 = n!$.

Ответ: Формула для вычисления числа перестановок из $n$ элементов: $P_n = n!$.