Страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

783. Постройте график функции $y = -2x^2 + 8$.

Для построения графика функции $y = -2x^2 + 8$ необходимо исследовать ее свойства и найти ключевые точки.

Анализ функции

Функция $y = -2x^2 + 8$ является квадратичной. Ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$. Так как $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Нахождение вершины параболы

Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$ для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ находятся по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$. В нашем уравнении $a = -2$, $b = 0$.

$x_в = -\frac{0}{2 \cdot (-2)} = 0$

Чтобы найти $y_в$, подставим значение $x_в = 0$ в уравнение функции:

$y_в = -2(0)^2 + 8 = 8$

Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0, 8)$. Осью симметрии параболы является прямая $x = 0$ (ось OY).

Нахождение точек пересечения с осями координат

Найдем точки, в которых график пересекает оси OX и OY.

Пересечение с осью OY (осью ординат): для этого подставим $x = 0$ в уравнение.

$y = -2(0)^2 + 8 = 8$

Точка пересечения с осью OY — $(0, 8)$, что совпадает с вершиной.

Пересечение с осью OX (осью абсцисс): для этого приравняем $y$ к нулю.

$-2x^2 + 8 = 0$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

$x_1 = -2$ и $x_2 = 2$

Точки пересечения с осью OX — $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Построение графика по точкам

Для более точного построения найдем значения функции в нескольких дополнительных точках. Удобно взять точки, симметричные относительно оси симметрии $x=0$.

Пусть $x=1$, тогда $y = -2(1)^2 + 8 = -2 + 8 = 6$. Точка $(1, 6)$.

В силу симметрии, при $x=-1$ значение $y$ будет таким же, то есть $y=6$. Точка $(-1, 6)$.

Составим итоговую таблицу значений:

Теперь на координатной плоскости необходимо отметить найденные точки: $(-2, 0)$, $(-1, 6)$, $(0, 8)$, $(1, 6)$, $(2, 0)$ и соединить их плавной линией, учитывая, что ветви направлены вниз.

Ответ: Графиком функции $y = -2x^2 + 8$ является парабола. Ее вершина находится в точке $(0, 8)$, а ветви направлены вниз. График симметричен относительно оси OY и пересекает ось OX в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

784. Решите неравенство:

a) $x^2 - 0,5x - 5 < 0;$

б) $x^2 - 2x + 12,5 > 0.$

а) $x^2 - 0,5x - 5 < 0$

Чтобы решить данное квадратное неравенство, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 0,5x - 5 = 0$.

Для удобства вычислений умножим все члены уравнения на 2:

$2x^2 - x - 10 = 0$

Теперь найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=2$, $b=-1$, $c=-10$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 9}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$

Мы нашли точки, в которых парабола $y = x^2 - 0,5x - 5$ пересекает ось Ox. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), значит, ветви параболы направлены вверх.

Неравенство $x^2 - 0,5x - 5 < 0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых парабола находится ниже оси Ox. Для параболы с ветвями вверх это интервал между ее корнями.

Следовательно, решение неравенства — это интервал от -2 до 2,5, не включая концы.

Ответ: $x \in (-2; 2,5)$.

б) $x^2 - 2x + 12,5 > 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 2x + 12,5$. Нам нужно найти, при каких значениях $x$ эта функция принимает положительные значения. Графиком функции является парабола.

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 - 2x + 12,5 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-2$, $c=12,5$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12,5 = 4 - 50 = -46$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), у квадратного уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс (Ox).

Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, что больше нуля. Следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Парабола, у которой ветви направлены вверх и которая не пересекает ось Ox, полностью расположена над этой осью. Это означает, что для любого действительного значения $x$ значение выражения $x^2 - 2x + 12,5$ будет положительным.

Таким образом, неравенство $x^2 - 2x + 12,5 > 0$ справедливо для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

785. Решите систему уравнений:

a) $ \left\{ \begin{array}{l} x - y = 1, \\ xy = 240; \end{array} \right. $

б) $ \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = 65, \\ 2x - y = 15. \end{array} \right. $

а) Решим систему уравнений методом подстановки:

$$ \begin{cases} x - y = 1, \\ xy = 240. \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$:

$x = 1 + y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(1 + y)y = 240$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2+by+c=0$:

$y + y^2 = 240$

$y^2 + y - 240 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$

$\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$

Теперь найдем значения $y$:

$y_1 = \frac{-1 - 31}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

$y_2 = \frac{-1 + 31}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя выражение $x = 1 + y$:

1. При $y_1 = -16$, $x_1 = 1 + (-16) = -15$.

2. При $y_2 = 15$, $x_2 = 1 + 15 = 16$.

Таким образом, получаем две пары решений.

Ответ: $(-15; -16)$, $(16; 15)$.

б) Решим систему уравнений методом подстановки:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 65, \\ 2x - y = 15. \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y$:

$-y = 15 - 2x$

$y = 2x - 15$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x^2 + (2x - 15)^2 = 65$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + (4x^2 - 2 \cdot 2x \cdot 15 + 15^2) = 65$

$x^2 + 4x^2 - 60x + 225 = 65$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:

$5x^2 - 60x + 225 - 65 = 0$

$5x^2 - 60x + 160 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 5:

$x^2 - 12x + 32 = 0$

Найдем корни полученного приведенного квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а их произведение равно 32. Легко подобрать корни:

$x_1 = 4$, $x_2 = 8$

Найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 2x - 15$:

1. При $x_1 = 4$, $y_1 = 2 \cdot 4 - 15 = 8 - 15 = -7$.

2. При $x_2 = 8$, $y_2 = 2 \cdot 8 - 15 = 16 - 15 = 1$.

Таким образом, получаем две пары решений.

Ответ: $(4; -7)$, $(8; 1)$.

786. Решите уравнение:

a) $5\sqrt{x} = 1;$

б) $\sqrt{x - 4} = 15.$

а)

Дано уравнение $5\sqrt{x} = 1$.

Для решения этого уравнения необходимо сначала изолировать радикал (квадратный корень). Для этого разделим обе части уравнения на 5:

$\frac{5\sqrt{x}}{5} = \frac{1}{5}$

$\sqrt{x} = \frac{1}{5}$

Теперь, чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{5})^2$

$x = \frac{1}{25}$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$5\sqrt{\frac{1}{25}} = 5 \cdot \frac{1}{5} = 1$

$1 = 1$

Равенство верно, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $x = \frac{1}{25}$.

б)

Дано уравнение $\sqrt{x-4} = 15$.

В этом уравнении радикал уже изолирован в левой части. Чтобы найти значение $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x-4})^2 = 15^2$

$x - 4 = 225$

Теперь перенесем -4 в правую часть уравнения с противоположным знаком, чтобы найти $x$:

$x = 225 + 4$

$x = 229$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$\sqrt{229-4} = \sqrt{225} = 15$

$15 = 15$

Равенство верно, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $x = 229$.

Объясните, как ведётся подсчёт числа возможных вариантов с помощью комбинаторного правила умножения.

Комбинаторное правило умножения (также известное как основной принцип комбинаторики) — это фундаментальный метод подсчёта, который применяется, когда необходимо совершить последовательность из нескольких независимых друг от друга действий или выборов.

Суть правила заключается в следующем: если некоторый объект $A$ можно выбрать $n$ способами, и после каждого такого выбора объект $B$ можно выбрать $m$ способами, то пару объектов $(A, B)$ в указанном порядке можно выбрать $n \cdot m$ способами.

Это правило обобщается на любую последовательность из $k$ действий. Если первое действие можно выполнить $n_1$ способами, после чего второе действие можно выполнить $n_2$ способами, затем третье — $n_3$ способами, и так далее до $k$-го действия, которое можно выполнить $n_k$ способами, то общее число способов выполнить всю последовательность действий равно произведению чисел $n_1, n_2, \ldots, n_k$.

Математически это записывается так:$N = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot \ldots \cdot n_k$

где $N$ — общее число возможных вариантов (комбинаций).

Рассмотрим наглядный пример.

Пример 1: Выбор наряда
Предположим, у вас в шкафу есть 4 футболки и 3 пары брюк. Сколькими способами можно составить комплект из одной футболки и одних брюк?

1. Первое действие: выбор футболки. У нас есть 4 варианта. $n_1 = 4$.2. Второе действие: выбор брюк. У нас есть 3 варианта. $n_2 = 3$.

Выбор футболки и выбор брюк — это независимые действия. Для каждой из 4-х выбранных футболок мы можем выбрать любую из 3-х пар брюк. Таким образом, общее число комбинаций будет равно:$N = n_1 \cdot n_2 = 4 \cdot 3 = 12$Всего можно составить 12 различных комплектов одежды.

Пример 2: Составление PIN-кода
Сколько существует различных четырёхзначных PIN-кодов, если каждая цифра может быть любой от 0 до 9?

Составление PIN-кода можно разбить на 4 последовательных действия — выбор каждой из четырёх цифр.

1. Выбор первой цифры: у нас есть 10 вариантов (0, 1, 2, ..., 9). $n_1 = 10$.2. Выбор второй цифры: также 10 вариантов. $n_2 = 10$.3. Выбор третьей цифры: также 10 вариантов. $n_3 = 10$.4. Выбор четвертой цифры: также 10 вариантов. $n_4 = 10$.

Поскольку выбор каждой следующей цифры не зависит от предыдущих, мы можем применить правило умножения:$N = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot n_4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10000$

Таким образом, существует 10 000 различных четырёхзначных PIN-кодов.

Вывод:
Подсчёт числа возможных вариантов с помощью комбинаторного правила умножения сводится к трём шагам:1. Разбить сложную задачу на последовательность простых, независимых друг от друга действий (шагов).2. Определить количество возможных исходов для каждого отдельного действия.3. Перемножить полученные числа, чтобы найти общее количество комбинаций.

Ответ: Комбинаторное правило умножения гласит, что если необходимо выполнить последовательно $k$ независимых действий, и первое действие можно выполнить $n_1$ способами, второе — $n_2$ способами, и так далее до $k$-го действия, которое можно выполнить $n_k$ способами, то общее число способов выполнить всю последовательность действий равно произведению $N = n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$. Это правило работает, потому что для каждого способа выполнения одного действия существуют все способы выполнения следующего действия, и так по цепочке. Например, чтобы найти число комплектов из 4 футболок и 3 пар брюк, мы умножаем число вариантов выбора футболки (4) на число вариантов выбора брюк (3), получая $4 \cdot 3 = 12$ возможных комплектов.

2. Что означает запись $n!$? Найдите значение выражения $\frac{49!}{47! \cdot 3!}$

Что означает запись n!?

Запись $n!$ (читается как «эн факториал») — это математическая функция, которая обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно. Факториал определён для любого неотрицательного целого числа.

Формула для вычисления факториала натурального числа $n$:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$

Также по определению принято считать, что факториал нуля равен единице: $0! = 1$.

Примеры:
$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

В комбинаторике значение $n!$ равно числу всех возможных перестановок (способов упорядочивания) $n$ различных элементов.

Ответ: $n!$ — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

Найдите значение выражения $\frac{49!}{47! \cdot 3!}$

Для вычисления значения данного выражения воспользуемся свойством факториала: $n! = (n-k)! \cdot (n-k+1) \cdot \ldots \cdot n$.

Представим $49!$ через $47!$:
$49! = 47! \cdot 48 \cdot 49$

Теперь подставим это представление в исходное выражение:
$\frac{49!}{47! \cdot 3!} = \frac{47! \cdot 48 \cdot 49}{47! \cdot 3!}$

Сократим общий множитель $47!$ в числителе и знаменателе дроби:
$\frac{\cancel{47!} \cdot 48 \cdot 49}{\cancel{47!} \cdot 3!} = \frac{48 \cdot 49}{3!}$

Теперь вычислим значение $3!$ в знаменателе:
$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$

Подставим полученное значение в выражение:
$\frac{48 \cdot 49}{6}$

Разделим 48 на 6:
$\frac{48}{6} \cdot 49 = 8 \cdot 49$

Осталось выполнить умножение:
$8 \cdot 49 = 392$

Ответ: 392.

3 Что называется перестановкой из n элементов? Запишите формулу для вычисления числа перестановок из n элементов.

Что называется перестановкой из n элементов?

Перестановкой из $n$ элементов называется любое соединение, которое состоит из всех данных $n$ элементов и отличается от другого такого же соединения только порядком их расположения. Иными словами, перестановки — это различные упорядоченные наборы, которые можно составить из одного и того же множества элементов, используя все элементы по одному разу. В перестановках важен порядок следования элементов.

Например, для множества, состоящего из трёх элементов {А, Б, В}, можно составить следующие перестановки: (А, Б, В), (А, В, Б), (Б, А, В), (Б, В, А), (В, А, Б), (В, Б, А). Как видно из примера, всего существует 6 различных перестановок.

Ответ: Перестановка из $n$ элементов — это любой упорядоченный набор этих $n$ элементов.

Запишите формулу для вычисления числа перестановок из n элементов.

Число всех возможных перестановок из $n$ элементов обозначается символом $P_n$ и вычисляется с помощью понятия факториала.

Формула для вычисления числа перестановок из $n$ элементов выглядит следующим образом:
$P_n = n!$

Здесь $n!$ (читается как "эн факториал") — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$
Также по определению принято считать, что $0! = 1$.

Эта формула следует из комбинаторного правила умножения. Чтобы составить перестановку, нужно выбрать элемент для первой позиции — для этого есть $n$ вариантов. Для второй позиции остается $n-1$ вариант. Для третьей — $n-2$ варианта, и так далее. Для последней, $n$-й позиции остается всего один вариант. Общее число возможных перестановок равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $P_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 = n!$.

Ответ: Формула для вычисления числа перестановок из $n$ элементов: $P_n = n!$.

4. Что называется размещением из $n$ элементов по $k$? Запишите формулу для вычисления числа размещений из $n$ элементов по $k$.

Что называется размещением из n элементов по k

В комбинаторике размещением из $n$ элементов по $k$ называется любой упорядоченный набор из $k$ различных элементов, выбранных из множества, содержащего $n$ различных элементов.

Ключевым отличием размещений от сочетаний является то, что в размещениях важен порядок следования элементов. Два размещения считаются различными, если они отличаются составом элементов или их порядком.

Например, пусть у нас есть множество из трех элементов $\{А, Б, В\}$, то есть $n=3$. Мы хотим составить из них размещения по два элемента, то есть $k=2$. Такими размещениями будут:

• (А, Б)
• (Б, А)
• (А, В)
• (В, А)
• (Б, В)
• (В, Б)

Как видно из примера, наборы (А, Б) и (Б, А) являются разными размещениями, так как в них отличается порядок элементов. Всего получилось 6 различных размещений.

Ответ: Размещением из $n$ элементов по $k$ называется любое упорядоченное подмножество из $k$ элементов, выбранное из исходного множества, содержащего $n$ различных элементов.

Запишите формулу для вычисления числа размещений из n элементов по k

Число всех возможных размещений из $n$ элементов по $k$ обозначается символом $A_n^k$ (от французского "arrangement" — размещение, приведение в порядок).

Для вывода формулы можно рассуждать следующим образом. При выборе первого элемента для нашего упорядоченного набора у нас есть $n$ вариантов. После того как первый элемент выбран, для выбора второго остается $n-1$ вариант. Для третьего — $n-2$ варианта, и так далее. Для последнего, $k$-го элемента, останется $n-(k-1)$ или $n-k+1$ вариант.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число способов равно произведению числа способов на каждом шаге:
$A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)$

Эту формулу можно записать более компактно, используя факториалы. Для этого умножим и разделим выражение на $(n-k)!$:
$A_n^k = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)!}{(n-k)!}$

В числителе мы получили произведение всех целых чисел от $n$ до 1, что является определением факториала числа $n$, то есть $n!$. Таким образом, формула принимает вид:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
Эта формула верна при условии $0 \le k \le n$.

Ответ: Формула для вычисления числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

5. Что называется сочетанием из $n$ элементов по $k$? Запишите формулу для вычисления числа сочетаний из $n$ элементов по $k$.

Что называется сочетанием из n элементов по k?
Сочетанием из $n$ элементов по $k$ (при условии, что $k \le n$) называется любое подмножество, состоящее из $k$ элементов, которое можно сформировать из исходного множества, содержащего $n$ различных элементов. Главная особенность сочетаний заключается в том, что порядок выбора элементов не имеет значения. Таким образом, два подмножества считаются одинаковыми, если они состоят из одних и тех же элементов. Например, при выборе двух букв из множества {А, Б, В}, наборы {А, Б} и {Б, А} являются одним и тем же сочетанием.
Ответ: Сочетанием из $n$ элементов по $k$ называется любое подмножество из $k$ элементов, выбранных из множества, содержащего $n$ элементов, где порядок выбора не важен.

Запишите формулу для вычисления числа сочетаний из n элементов по k.
Число всех возможных сочетаний из $n$ элементов по $k$ обозначается символом $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$ (читается "C из n по k") и вычисляется по следующей формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В этой формуле используются следующие обозначения:
$n!$ — факториал числа $n$, то есть произведение всех целых положительных чисел от 1 до $n$. ($n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$). Также по определению принимается, что $0! = 1$.
$n$ — общее число элементов в исходном множестве.
$k$ — число элементов в каждом сочетании (выборке).
Данная формула справедлива для целых неотрицательных чисел $n$ и $k$ при $k \le n$.
Ответ: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$