Страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

768. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Для решения этой задачи необходимо найти число сочетаний из 7 элементов по 2, так как порядок выбора учеников для участия в олимпиаде не имеет значения (команда из ученика А и ученика Б — это та же самая команда, что и из ученика Б и ученика А).

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае:

• $n = 7$ (общее количество учеников, успешно занимающихся математикой).
• $k = 2$ (количество учеников, которых нужно выбрать для олимпиады).

Подставляем наши значения в формулу:

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!}$

Теперь раскроем факториалы и произведем вычисления. Факториал $n!$ — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

$C_7^2 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}$

Сокращаем $5!$ (произведение чисел от 1 до 5) в числителе и знаменателе:

$C_7^2 = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = \frac{42}{2} = 21$

Таким образом, существует 21 способ выбрать двоих учеников из семи.

Ответ: 21.

769. В магазине «Филателия» продаётся 8 различных наборов марок, посвящённых спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу из комбинаторики для нахождения числа сочетаний, так как порядок выбора наборов марок не имеет значения. Нам нужно определить, сколькими способами можно выбрать k элементов из множества, содержащего n различных элементов.

Формула для числа сочетаний имеет вид:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае:

• n — общее количество различных наборов марок, $n = 8$.
• k — количество наборов, которые нужно выбрать, $k = 3$.

Подставим эти значения в формулу:

$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!}$

Теперь рассчитаем значение, раскрыв факториалы. Удобнее всего представить $8!$ как $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!$ для сокращения:

$C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3! \cdot 5!}$

Сокращаем $5!$ в числителе и знаменателе:

$C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3!}$

Так как $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$, получаем:

$C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 8 \cdot 7 = 56$

Таким образом, существует 56 различных способов выбрать 3 набора марок из 8 имеющихся.

Ответ: 56.

770. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу из комбинаторики, а именно формулу для числа сочетаний. Это связано с тем, что порядок, в котором ученик выбирает книги, не имеет значения. Важен только итоговый набор из 6 книг.

Нам дано общее количество книг, из которых производится выбор: $n = 10$.

Количество книг, которые необходимо выбрать: $k = 6$.

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ (обозначается как $C_n^k$):

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Где $n!$ (читается как "n факториал") — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно.

Подставим наши значения $n=10$ и $k=6$ в формулу:

$C_{10}^6 = \frac{10!}{6!(10-6)!} = \frac{10!}{6! \cdot 4!}$

Теперь выполним вычисления. Для удобства можно расписать факториалы и сократить одинаковые множители.

$C_{10}^6 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}$

Сократим $6!$ в числителе и знаменателе:

$C_{10}^6 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Проведем дальнейшие вычисления:

$C_{10}^6 = \frac{5040}{24} = 210$

Также можно было сократить множители в дроби: $8$ в числителе и $(4 \cdot 2)$ в знаменателе, а $9$ в числителе и $3$ в знаменателе.

$C_{10}^6 = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$

Таким образом, у ученика есть 210 различных способов выбрать 6 книг из списка 10.

Ответ: 210.

771. На плоскости отмечено восемь точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через эти точки?

Для того чтобы провести прямую, необходимо выбрать две точки. Согласно аксиоме геометрии, через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. По условию задачи, на плоскости отмечено 8 точек, и никакие три из них не лежат на одной прямой. Это важное уточнение означает, что каждая пара точек будет определять совершенно новую, уникальную прямую, которая не совпадет ни с какой другой прямой, образованной другой парой точек.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы подсчитать, сколько всего уникальных пар точек можно составить из 8 имеющихся. Поскольку порядок точек в паре не имеет значения (прямая, проходящая через точки А и В, это та же самая прямая, что и через точки В и А), нам необходимо найти число сочетаний из 8 элементов по 2.

Формула для расчета числа сочетаний из n по k выглядит следующим образом:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число точек n = 8, а для построения одной прямой нужно выбрать k = 2 точки. Подставим эти значения в формулу:

$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2 \cdot 1 \cdot 6!}$

Сократив $6!$ в числителе и знаменателе, получим:

$C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$

Можно решить задачу и другим способом, рассуждая последовательно. Выберем первую точку. Из нее можно провести прямые к 7 остальным точкам. Это даст нам 7 прямых. Теперь выберем вторую точку. Прямая к первой точке уже посчитана, поэтому из второй точки можно провести новые прямые к 6 оставшимся точкам. Для третьей точки это будет 5 новых прямых, для четвертой — 4, и так далее. Для предпоследней, седьмой точки, останется провести лишь одну новую прямую к последней, восьмой точке. Общее количество прямых будет суммой: $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28$.

Ответ: 28

772. (Для работы в парах.) Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;

б) заведующий лабораторией должен остаться?

1) Обсудите, с каким видом комбинаций мы имеем дело в каждом случае.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий.

Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторику, а именно сочетания, так как порядок выбора сотрудников в командировку не имеет значения. Формула для вычисления числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ имеет вид:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Всего в лаборатории работает 1 заведующий и 10 сотрудников, то есть 11 человек. Необходимо сформировать группу из 5 человек.

а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;

По условию, заведующий обязательно едет в командировку. Это означает, что одно место в группе из 5 человек уже занято. Нам остается выбрать еще $5 - 1 = 4$ человека. Этих людей мы будем выбирать из 10 оставшихся сотрудников (поскольку заведующий уже включен в группу). Таким образом, задача сводится к нахождению числа способов выбрать 4 сотрудников из 10.

Вычислим число сочетаний из 10 по 4:

$C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$.

Таким образом, существует 210 способов сформировать группу, если заведующий должен ехать.

Ответ: 210 способами.

б) заведующий лабораторией должен остаться?

В этом случае заведующий не едет в командировку. Это означает, что всех 5 человек для поездки нужно выбрать из 10 сотрудников. Заведующий в выборе не участвует. Задача сводится к нахождению числа способов выбрать 5 сотрудников из 10.

Вычислим число сочетаний из 10 по 5:

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 9 \times 2 \times 7 = 252$.

Следовательно, существует 252 способа сформировать группу, если заведующий остается.

Ответ: 252 способами.