Страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

741. (Задача-исследование.) Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, удовлетворяющих условию:

а) мальчики располагаются в произвольном порядке;

б) Олег должен стоять в начале ряда, а Игорь — в конце;

в) Олег и Игорь должны стоять рядом в произвольном порядке;

г) Олег и Игорь должны стоять рядом, причём Игорь должен находиться впереди Олега.

1) Для каждого случая выясните, какая комбинация рассматривается в данной ситуации.

2) Выполните вычисления и дайте ответ.

а) мальчики располагаются в произвольном порядке;

1) В данном случае рассматривается ситуация, когда порядок расположения мальчиков важен, и все семь мальчиков участвуют в расположении. Такая комбинация называется перестановкой.

2) Число всех возможных перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n = 7$, так как всего 7 мальчиков.
Выполним вычисление:
$P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$.
Таким образом, существует 5040 способов расставить семерых мальчиков в ряд в произвольном порядке.
Ответ: 5040

б) Олег должен стоять в начале ряда, а Игорь — в конце;

1) В этой ситуации позиции двух мальчиков, Олега и Игоря, строго определены. Олег стоит на первом месте, Игорь — на последнем (седьмом). Нам нужно найти количество способов расставить оставшихся мальчиков на оставшиеся места. Это также является задачей на перестановки, но для меньшего числа элементов.

2) Поскольку позиции Олега и Игоря зафиксированы, нам нужно расставить оставшихся $7 - 2 = 5$ мальчиков на $5$ свободных мест между Олегом и Игорем.
Число способов сделать это равно числу перестановок из 5 элементов:
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
Следовательно, существует 120 комбинаций, удовлетворяющих данному условию.
Ответ: 120

в) Олег и Игорь должны стоять рядом в произвольном порядке;

1) Для решения этой задачи мы можем применить метод "склеивания". Мы рассматриваем пару мальчиков (Олег и Игорь) как один неделимый объект. Тогда нам нужно расставить 6 "объектов": 5 отдельных мальчиков и одну пару. Это перестановка 6 объектов. Кроме того, внутри "склеенной" пары мальчики могут меняться местами, что также является перестановкой 2 элементов. Общее число комбинаций находится по правилу произведения.

2) Сначала найдем число способов расставить 6 объектов (5 мальчиков + 1 пара). Это $P_6 = 6!$.
$P_6 = 6! = 720$.
Внутри пары "Олег-Игорь" мальчики могут располагаться двумя способами: (Олег, Игорь) и (Игорь, Олег). Число перестановок внутри пары равно $P_2 = 2! = 2$.
По правилу произведения, общее число комбинаций равно:
$N = P_6 \times P_2 = 6! \times 2! = 720 \times 2 = 1440$.
Существует 1440 способов расставить мальчиков так, чтобы Олег и Игорь стояли рядом.
Ответ: 1440

г) Олег и Игорь должны стоять рядом, причём Игорь должен находиться впереди Олега.

1) Этот случай похож на предыдущий, но с дополнительным ограничением на порядок внутри пары. Мы снова рассматриваем пару мальчиков (Игорь, Олег) как один "склеенный" объект. Однако, в отличие от пункта в), порядок внутри этого объекта строго зафиксирован. Таким образом, нам нужно найти число перестановок для 6 объектов.

2) Мы имеем 6 объектов для расстановки: 5 мальчиков и одна упорядоченная пара (Игорь, Олег).
Число способов расставить эти 6 объектов равно числу перестановок из 6 элементов:
$P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.
Так как порядок внутри пары фиксирован (только один вариант: Игорь впереди Олега), то больше никаких дополнительных вычислений не требуется.
Альтернативно, можно взять результат из пункта в) и разделить его на 2, так как в данном случае рассматривается ровно половина всех возможных случаев из пункта в): $1440 / 2 = 720$.
Ответ: 720

742. В расписании на понедельник шесть уроков: русский язык, алгебра, геометрия, биология, история, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?

Для решения этой задачи воспользуемся методами комбинаторики. Нам нужно найти количество перестановок шести уроков с дополнительным условием.

Имеем 6 уроков: русский язык, алгебра, геометрия, биология, история, физкультура.

Условие задачи состоит в том, что два урока математики (алгебра и геометрия) должны стоять рядом в расписании.

Шаг 1: Объединение связанных элементов.
Чтобы гарантировать, что алгебра и геометрия всегда будут вместе, мы можем рассматривать их как один единый "математический блок". Теперь у нас есть не 6 отдельных элементов, а 5:
- Математический блок (алгебра + геометрия)
- Русский язык
- Биология
- История
- Физкультура

Шаг 2: Вычисление количества перестановок для объединенных элементов.
Теперь нам нужно найти, сколькими способами можно расставить эти 5 условных элементов. Количество перестановок для $n$ различных элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.
В нашем случае $n=5$, поэтому количество способов расставить эти 5 блоков равно:
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Шаг 3: Учет перестановок внутри объединенного блока.
Внутри "математического блока" уроки алгебры и геометрии могут располагаться двумя способами: (алгебра, геометрия) или (геометрия, алгебра). Количество перестановок двух элементов равно $P_2 = 2!$.
$P_2 = 2! = 2 \times 1 = 2$.

Шаг 4: Нахождение итогового количества способов.
По правилу умножения в комбинаторике, общее количество способов составить расписание равно произведению числа перестановок объединенных элементов на число перестановок внутри блока.
Общее количество способов = (Количество перестановок 5 элементов) $\times$ (Количество перестановок 2 элементов внутри блока)
$N = P_5 \times P_2 = 120 \times 2 = 240$.

Таким образом, существует 240 способов составить расписание уроков на понедельник так, чтобы два урока математики стояли рядом.

Ответ: 240

743. Сколько существует перестановок букв слова «конус», в которых буквы «к», «о», «н» стоят рядом в указанном порядке?

В данной задаче нам нужно найти количество перестановок букв слова «конус», в которых определенная группа букв стоит вместе и в заданном порядке.

Слово «конус» состоит из 5 различных букв: к, о, н, у, с.

Условие состоит в том, что буквы «к», «о», «н» должны стоять рядом именно в таком порядке. Это означает, что мы можем рассматривать последовательность «кон» как один неделимый элемент (блок).

Таким образом, вместо того чтобы переставлять 5 отдельных букв, мы будем переставлять 3 элемента:

• блок «кон»
• буква «у»
• буква «с»

Задача сводится к нахождению числа перестановок из 3-х элементов. Количество перестановок из $n$ различных элементов равно $n!$ (n-факториал).

В нашем случае $n=3$, поэтому число перестановок равно:

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Так как порядок букв внутри блока «кон» строго зафиксирован, никаких дополнительных перестановок внутри блока учитывать не нужно.

Следовательно, существует ровно 6 таких перестановок.

Ответ: 6

744. Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг — это сборники стихов, так, чтобы сборники стихов стояли рядом в произвольном порядке?

Для решения этой задачи воспользуемся комбинаторным правилом произведения. Решение можно разбить на несколько шагов.

1. Объединение сборников стихов в один блок.
Поскольку 5 сборников стихов должны стоять рядом, мы можем мысленно объединить их в один большой объект или "блок". Теперь нам нужно расставить на полке не 12 отдельных книг, а 8 объектов: 7 обычных книг и 1 блок сборников стихов.

2. Расстановка объектов на полке.
Количество способов расставить эти 8 различных объектов в ряд равно числу перестановок из 8 элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n = 8$, поэтому количество способов расставить 7 книг и 1 блок равно: $P_8 = 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$ способов.

3. Расстановка книг внутри блока.
Внутри созданного нами блока находятся 5 сборников стихов, которые могут располагаться в произвольном порядке. Количество способов переставить 5 книг между собой также равно числу перестановок, но уже из 5 элементов. В нашем случае $n = 5$, поэтому количество способов расставить сборники стихов внутри блока равно: $P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ способов.

4. Нахождение общего числа способов.
Чтобы найти общее количество способов расстановки, нужно умножить количество способов расстановки "блоков" (шаг 2) на количество способов расстановки книг внутри блока (шаг 3). Общее число способов $N$ равно: $N = 8! \times 5! = 40320 \times 120 = 4838400$.

Ответ: 4838400.

745. Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1-го по 10-е? Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечётных местах, а девочки — на чётных?

Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1-го по 10-е?

В данном случае у нас есть 10 различных людей (5 мальчиков + 5 девочек) и 10 различных мест. Задача состоит в том, чтобы найти количество всех возможных расстановок 10 человек на 10 местах. Это классическая задача на перестановки.

Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$ (n-факториал).

Для нашей задачи $n = 10$, так как всего 10 человек. Количество способов равно: $10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3628800$.

Таким образом, существует 3 628 800 способов рассадить 5 мальчиков и 5 девочек на 10 местах без каких-либо ограничений.

Ответ: $3628800$ способов.

Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечётных местах, а девочки — на чётных?

Сначала определим, какие места являются нечётными, а какие чётными в ряду из 10 мест. Нечётные места: 1, 3, 5, 7, 9 (всего 5 мест). Чётные места: 2, 4, 6, 8, 10 (всего 5 мест).

Теперь рассмотрим рассадку мальчиков и девочек по отдельности.

1. Рассадка мальчиков на нечётных местах. Есть 5 мальчиков и 5 нечётных мест. Количество способов рассадить 5 мальчиков на этих 5 местах равно числу перестановок из 5 элементов: $P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ способов.

2. Рассадка девочек на чётных местах. Аналогично, есть 5 девочек и 5 чётных мест. Количество способов рассадить 5 девочек на этих 5 местах также равно числу перестановок из 5 элементов: $P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ способов.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, чтобы найти общее число способов, при котором выполняются оба независимых условия (рассадка мальчиков И рассадка девочек), необходимо перемножить количество способов для каждого условия.

Общее число способов = (число способов для мальчиков) $\times$ (число способов для девочек). $N = 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$.

Ответ: $14400$ способов.

746. (Для работы в парах.) Нетрудно убедиться, что число $30!$ делится на 90. Действительно, $90 = 2 \cdot 5 \cdot 9$, и каждый из этих множителей входит в произведение, равное $30!$. С помощью аналогичных рассуждений определите, делится ли число $30!$ на:
а) 92; б) 94; в) 96; г) 98.

1) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания.

Основной принцип для решения этой задачи: чтобы число $n!$ делилось на некоторое число $k$, необходимо и достаточно, чтобы все простые множители числа $k$ содержались в разложении числа $n!$ на простые множители.

Разложение числа $30!$ на множители — это $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 30$.

а) 92

Разложим число 92 на простые множители: $92 = 2 \cdot 46 = 2 \cdot 2 \cdot 23 = 2^2 \cdot 23$.

Чтобы $30!$ делилось на 92, в его разложении должны быть как минимум два множителя 2 и один множитель 23.

1. Множитель 23: число 23 является простым и $23 \le 30$, поэтому оно входит в произведение $30!$.

2. Множители $2^2$: в произведении $30!$ есть числа 2 и 4. Их произведение $2 \cdot 4 = 8$, которое делится на $2^2=4$. Значит, в $30!$ есть как минимум два множителя 2.

Поскольку все простые множители числа 92 (с учетом их степеней) содержатся в разложении $30!$, то $30!$ делится на 92.

Ответ: да, делится.

б) 94

Разложим число 94 на простые множители: $94 = 2 \cdot 47$.

Чтобы $30!$ делилось на 94, в его разложении должны быть множители 2 и 47.

Множитель 2 в произведении $30!$ есть.

Однако множитель 47 является простым числом, и $47 > 30$. Это означает, что числа 47 нет среди множителей от 1 до 30. Так как 47 — простое, его нельзя получить произведением других чисел из этого диапазона.

Следовательно, $30!$ не содержит множитель 47 и не может делиться на 94.

Ответ: нет, не делится.

в) 96

Разложим число 96 на простые множители: $96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$.

Чтобы $30!$ делилось на 96, в его разложении должны быть как минимум пять множителей 2 и один множитель 3.

1. Множитель 3: присутствует, так как $3 \le 30$.

2. Множители $2^5$: в произведении $30!$ содержатся числа 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16 и т.д. Посчитаем, сколько множителей 2 они дают: число 2 (один), 4 (два), 6 (один), 8 (три), 16 (четыре). Уже из чисел 2, 4, 8 мы получаем $1+2+3 = 6$ множителей 2, что больше требуемых пяти. Другой способ: можно найти в произведении $30!$ числа 6 и 16. Их произведение $6 \cdot 16 = 96$. Так как $6 \le 30$ и $16 \le 30$, то их произведение является делителем $30!$.

Поскольку все простые множители числа 96 содержатся в разложении $30!$, то $30!$ делится на 96.

Ответ: да, делится.

г) 98

Разложим число 98 на простые множители: $98 = 2 \cdot 49 = 2 \cdot 7^2$.

Чтобы $30!$ делилось на 98, в его разложении должны быть как минимум один множитель 2 и два множителя 7.

1. Множитель 2: присутствует, так как $2 \le 30$.

2. Множители $7^2$: в произведении $30!$ есть числа, кратные 7: 7, 14, 21, 28. Мы можем взять число 7 (один множитель 7) и число 14 (которое равно $2 \cdot 7$ и дает второй множитель 7). Так как оба эти числа, 7 и 14, есть в произведении $30!$, то в разложении $30!$ есть как минимум два множителя 7.

Поскольку все простые множители числа 98 содержатся в разложении $30!$, то $30!$ делится на 98.

Ответ: да, делится.

747. Делится ли число $14!$ на:

а) 168;

б) 136;

в) 147;

г) 132?

а) 168
Число $14!$ (14 факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до 14. Чтобы проверить, делится ли $14!$ на 168, разложим 168 на простые множители:
$168 = 2 \cdot 84 = 2 \cdot 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$.
Это можно представить как произведение $8 \cdot 3 \cdot 7$.
Все эти множители (8, 3 и 7) являются натуральными числами, меньшими или равными 14. Следовательно, они входят в состав произведения $14! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot 3 \cdot ... \cdot 7 \cdot 8 \cdot ... \cdot 14$.
Поскольку множители 3, 7 и 8 присутствуют в произведении $14!$, то и их произведение $3 \cdot 7 \cdot 8 = 168$ является делителем $14!$.
Ответ: Да, делится.

б) 136
Разложим число 136 на простые множители:
$136 = 2 \cdot 68 = 2 \cdot 2 \cdot 34 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 17 = 2^3 \cdot 17$.
В разложении числа 136 есть простой множитель 17.
Число $14!$ является произведением натуральных чисел от 1 до 14. Все его простые делители — это простые числа, не превышающие 14 (т.е. 2, 3, 5, 7, 11, 13).
Поскольку $17 > 14$ и 17 — простое число, оно не может быть делителем $14!$. Следовательно, и число 136, кратное 17, не делит $14!$.
Ответ: Нет, не делится.

в) 147
Разложим число 147 на простые множители:
$147 = 3 \cdot 49 = 3 \cdot 7^2$.
Чтобы $14!$ делилось на 147, оно должно делиться на 3 и на $7^2 = 49$.
1. Делимость на 3: В произведении $14!$ есть множитель 3, значит $14!$ делится на 3.
2. Делимость на 49: В произведении $14!$ есть два числа, кратных 7: это 7 и 14.
Их произведение равно $7 \cdot 14 = 7 \cdot (2 \cdot 7) = 2 \cdot 7^2 = 98$.
Поскольку произведение $7 \cdot 14 = 98$ является частью произведения $14!$, а 98 делится на 49, то и $14!$ делится на 49.
Так как $14!$ делится и на 3, и на 49 (которые взаимно просты), то $14!$ делится на их произведение $3 \cdot 49 = 147$.
Ответ: Да, делится.

г) 132
Разложим число 132 на множители:
$132 = 11 \cdot 12$.
Оба множителя, 11 и 12, являются натуральными числами, не превышающими 14.
Следовательно, они оба входят в состав произведения $14! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14$.
Поскольку множители 11 и 12 присутствуют в произведении, то и их произведение $11 \cdot 12 = 132$ также является делителем $14!$.
Ответ: Да, делится.

748. Найдите значение выражения:

а) $\frac{15!}{14!}$

б) $\frac{8!}{10!}$

в) $\frac{42!}{40!}$

г) $\frac{16!}{14! \cdot 3!}$

д) $\frac{28!}{4! \cdot 26!}$

е) $\frac{45!}{43! \cdot 3!}$

Чтобы найти значение выражения $\frac{15!}{14!}$, воспользуемся определением факториала: $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$. Также можно записать, что $n! = (n-1)! \cdot n$.
Таким образом, мы можем представить $15!$ как $14! \cdot 15$.
$\frac{15!}{14!} = \frac{14! \cdot 15}{14!}$
Сократив $14!$ в числителе и знаменателе, получаем:
$\frac{15}{1} = 15$.
Ответ: 15.

Чтобы найти значение выражения $\frac{8!}{10!}$, представим факториал в знаменателе через факториал в числителе:
$10! = 8! \cdot 9 \cdot 10$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{8!}{10!} = \frac{8!}{8! \cdot 9 \cdot 10}$
Сократим $8!$:
$\frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{1}{90}$.
Ответ: $\frac{1}{90}$.

Чтобы найти значение выражения $\frac{42!}{40!}$, представим $42!$ как $40! \cdot 41 \cdot 42$.
$\frac{42!}{40!} = \frac{40! \cdot 41 \cdot 42}{40!}$
Сократим $40!$:
$41 \cdot 42 = 1722$.
Ответ: 1722.

Для вычисления выражения $\frac{16!}{14! \cdot 3!}$ раскроем $16!$ и $3!$.
$16! = 14! \cdot 15 \cdot 16$.
$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.
Подставим эти значения в дробь:
$\frac{16!}{14! \cdot 3!} = \frac{14! \cdot 15 \cdot 16}{14! \cdot 6}$
Сократим $14!$:
$\frac{15 \cdot 16}{6}$
Можно сократить 15 и 6 на 3, а 16 и 2 (оставшееся от 6) на 2:
$\frac{5 \cdot 16}{2} = 5 \cdot 8 = 40$.
Ответ: 40.

Чтобы найти значение выражения $\frac{28!}{4! \cdot 26!}$, раскроем $28!$ и $4!$.
$28! = 26! \cdot 27 \cdot 28$.
$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{28!}{4! \cdot 26!} = \frac{26! \cdot 27 \cdot 28}{24 \cdot 26!}$
Сократим $26!$:
$\frac{27 \cdot 28}{24}$
Сократим дробь. 24 и 28 делятся на 4:
$\frac{27 \cdot 7}{6}$
Теперь сократим 27 и 6 на 3:
$\frac{9 \cdot 7}{2} = \frac{63}{2} = 31,5$.
Ответ: 31,5.

Для вычисления выражения $\frac{45!}{43! \cdot 3!}$ раскроем $45!$ и $3!$.
$45! = 43! \cdot 44 \cdot 45$.
$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.
Подставим значения в дробь:
$\frac{45!}{43! \cdot 3!} = \frac{43! \cdot 44 \cdot 45}{43! \cdot 6}$
Сократим $43!$:
$\frac{44 \cdot 45}{6}$
Сократим 44 и 6 на 2, а 45 и 3 (оставшееся от 6) на 3:
$\frac{22 \cdot 45}{3} = 22 \cdot 15 = 330$.
Ответ: 330.

749. Вычислите значение выражения:

а) $ \frac{12!}{9!} $;

б) $ \frac{14!}{12!} $;

в) $ \frac{30!}{29! \cdot 2!} $;

г) $ \frac{36!}{2! \cdot 34!} $;

д) $ \frac{15!}{2! \cdot 16!} $;

е) $ \frac{25!}{23! \cdot 5!} $

а) Для вычисления значения выражения $\frac{12!}{9!}$ воспользуемся определением факториала: $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$. Основное свойство, которое мы будем использовать: $n! = n \cdot (n-1)!$. Распишем числитель до $9!$ и сократим дробь:

$\frac{12!}{9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{9!} = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320$

Ответ: 1320

б) Аналогично предыдущему пункту, распишем $14!$ в числителе до $12!$ и сократим:

$\frac{14!}{12!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12!}{12!} = 14 \cdot 13 = 182$

Ответ: 182

в) В выражении $\frac{30!}{29! \cdot 2!}$ распишем $30!$ как $30 \cdot 29!$ и вычислим $2! = 2 \cdot 1 = 2$:

$\frac{30!}{29! \cdot 2!} = \frac{30 \cdot 29!}{29! \cdot 2} = \frac{30}{2} = 15$

Ответ: 15

г) Данное выражение $\frac{36!}{2! \cdot 34!}$ можно упростить, расписав $36!$ до $34!$ для сокращения:

$\frac{36!}{2! \cdot 34!} = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34!}{2 \cdot 1 \cdot 34!} = \frac{36 \cdot 35}{2} = 18 \cdot 35 = 630$

Ответ: 630

д) В выражении $\frac{15!}{2! \cdot 16!}$ факториал в знаменателе ($16!$) больше, чем в числителе ($15!$). Распишем $16!$ как $16 \cdot 15!$:

$\frac{15!}{2! \cdot 16!} = \frac{15!}{(2 \cdot 1) \cdot (16 \cdot 15!)} = \frac{15!}{2 \cdot 16 \cdot 15!} = \frac{1}{32}$

Ответ: $\frac{1}{32}$

е) Для вычисления выражения $\frac{25!}{23! \cdot 5!}$ распишем $25!$ до $23!$ и вычислим значение $5!$ в знаменателе:

$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

$\frac{25!}{23! \cdot 5!} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23!}{23! \cdot 120} = \frac{25 \cdot 24}{120} = \frac{600}{120} = 5$

Ответ: 5

750. Что больше и во сколько раз:

а) $6! \cdot 5$ или $5! \cdot 6$;

б) $(n + 1)! \cdot n$ или $n! \cdot (n + 1)?$

а) Сравним выражения $6! \cdot 5$ и $5! \cdot 6$. Используя определение факториала $6! = 5! \cdot 6$, преобразуем первое выражение: $6! \cdot 5 = (5! \cdot 6) \cdot 5 = 5! \cdot 30$. Теперь сравним полученное выражение $5! \cdot 30$ со вторым выражением $5! \cdot 6$. Так как $30 > 6$, очевидно, что первое выражение больше. Чтобы найти, во сколько раз оно больше, найдем их отношение: $\frac{6! \cdot 5}{5! \cdot 6} = \frac{(5! \cdot 6) \cdot 5}{5! \cdot 6} = 5$.
Ответ: Выражение $6! \cdot 5$ больше, чем $5! \cdot 6$, в 5 раз.

б) Сравним выражения $(n+1)! \cdot n$ и $n! \cdot (n+1)$. По определению факториала, $(n+1)! = n! \cdot (n+1)$. Это означает, что второе выражение равно $(n+1)!$. Таким образом, мы сравниваем $(n+1)! \cdot n$ с $(n+1)!$. Чтобы найти, во сколько раз одно больше другого, вычислим их отношение (при условии, что $n$ — целое неотрицательное число): $\frac{(n+1)! \cdot n}{(n+1)!} = n$. Анализ этого отношения показывает: если $n > 1$, то первое выражение больше второго в $n$ раз; если $n = 1$, то отношение равно 1, и выражения равны; если $n = 0$, то первое выражение равно 0, а второе равно 1, то есть второе выражение больше.
Ответ: Если $n > 1$, то выражение $(n+1)! \cdot n$ больше в $n$ раз; если $n = 1$, выражения равны; если $n=0$, выражение $n! \cdot (n+1)$ больше.