Номер 747, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

747. Делится ли число $14!$ на:

а) 168;

б) 136;

в) 147;

г) 132?

а) 168
Число $14!$ (14 факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до 14. Чтобы проверить, делится ли $14!$ на 168, разложим 168 на простые множители:
$168 = 2 \cdot 84 = 2 \cdot 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$.
Это можно представить как произведение $8 \cdot 3 \cdot 7$.
Все эти множители (8, 3 и 7) являются натуральными числами, меньшими или равными 14. Следовательно, они входят в состав произведения $14! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot 3 \cdot ... \cdot 7 \cdot 8 \cdot ... \cdot 14$.
Поскольку множители 3, 7 и 8 присутствуют в произведении $14!$, то и их произведение $3 \cdot 7 \cdot 8 = 168$ является делителем $14!$.
Ответ: Да, делится.

б) 136
Разложим число 136 на простые множители:
$136 = 2 \cdot 68 = 2 \cdot 2 \cdot 34 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 17 = 2^3 \cdot 17$.
В разложении числа 136 есть простой множитель 17.
Число $14!$ является произведением натуральных чисел от 1 до 14. Все его простые делители — это простые числа, не превышающие 14 (т.е. 2, 3, 5, 7, 11, 13).
Поскольку $17 > 14$ и 17 — простое число, оно не может быть делителем $14!$. Следовательно, и число 136, кратное 17, не делит $14!$.
Ответ: Нет, не делится.

в) 147
Разложим число 147 на простые множители:
$147 = 3 \cdot 49 = 3 \cdot 7^2$.
Чтобы $14!$ делилось на 147, оно должно делиться на 3 и на $7^2 = 49$.
1. Делимость на 3: В произведении $14!$ есть множитель 3, значит $14!$ делится на 3.
2. Делимость на 49: В произведении $14!$ есть два числа, кратных 7: это 7 и 14.
Их произведение равно $7 \cdot 14 = 7 \cdot (2 \cdot 7) = 2 \cdot 7^2 = 98$.
Поскольку произведение $7 \cdot 14 = 98$ является частью произведения $14!$, а 98 делится на 49, то и $14!$ делится на 49.
Так как $14!$ делится и на 3, и на 49 (которые взаимно просты), то $14!$ делится на их произведение $3 \cdot 49 = 147$.
Ответ: Да, делится.

г) 132
Разложим число 132 на множители:
$132 = 11 \cdot 12$.
Оба множителя, 11 и 12, являются натуральными числами, не превышающими 14.
Следовательно, они оба входят в состав произведения $14! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14$.
Поскольку множители 11 и 12 присутствуют в произведении, то и их произведение $11 \cdot 12 = 132$ также является делителем $14!$.
Ответ: Да, делится.