Номер 745, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

745. Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1-го по 10-е? Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечётных местах, а девочки — на чётных?

Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1-го по 10-е?

В данном случае у нас есть 10 различных людей (5 мальчиков + 5 девочек) и 10 различных мест. Задача состоит в том, чтобы найти количество всех возможных расстановок 10 человек на 10 местах. Это классическая задача на перестановки.

Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$ (n-факториал).

Для нашей задачи $n = 10$, так как всего 10 человек. Количество способов равно: $10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3628800$.

Таким образом, существует 3 628 800 способов рассадить 5 мальчиков и 5 девочек на 10 местах без каких-либо ограничений.

Ответ: $3628800$ способов.

Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечётных местах, а девочки — на чётных?

Сначала определим, какие места являются нечётными, а какие чётными в ряду из 10 мест. Нечётные места: 1, 3, 5, 7, 9 (всего 5 мест). Чётные места: 2, 4, 6, 8, 10 (всего 5 мест).

Теперь рассмотрим рассадку мальчиков и девочек по отдельности.

1. Рассадка мальчиков на нечётных местах. Есть 5 мальчиков и 5 нечётных мест. Количество способов рассадить 5 мальчиков на этих 5 местах равно числу перестановок из 5 элементов: $P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ способов.

2. Рассадка девочек на чётных местах. Аналогично, есть 5 девочек и 5 чётных мест. Количество способов рассадить 5 девочек на этих 5 местах также равно числу перестановок из 5 элементов: $P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ способов.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, чтобы найти общее число способов, при котором выполняются оба независимых условия (рассадка мальчиков И рассадка девочек), необходимо перемножить количество способов для каждого условия.

Общее число способов = (число способов для мальчиков) $\times$ (число способов для девочек). $N = 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$.

Ответ: $14400$ способов.