Номер 738, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

738. Сколько среди четырёхзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без их повторения), таких, которые:

a) начинаются с цифры 3;

б) кратны 15?

а)

Мы ищем количество четырёхзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 без повторения, которые начинаются с цифры 3. Поскольку первая цифра числа фиксирована и равна 3, нам нужно определить, сколькими способами можно расположить оставшиеся три цифры (5, 7, 9) на трёх оставшихся местах (сотни, десятки и единицы). Это задача на нахождение числа перестановок из трёх элементов. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n=3$, поэтому количество вариантов равно: $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$. Таким образом, существует 6 таких чисел.

Ответ: 6

б)

Число кратно 15, если оно делится и на 3, и на 5, так как 3 и 5 — взаимно простые числа.

Сначала проверим делимость на 3. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Найдём сумму данных цифр: $3 + 5 + 7 + 9 = 24$. Поскольку 24 делится на 3 ($24 : 3 = 8$), любое четырёхзначное число, составленное из этих цифр, будет кратно 3.

Теперь проверим делимость на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Из набора цифр {3, 5, 7, 9} для последней позиции подходит только цифра 5.

Следовательно, задача сводится к подсчёту количества чисел, составленных из данных цифр, которые оканчиваются на 5. Последняя цифра фиксирована (это 5). Оставшиеся три цифры (3, 7, 9) нужно расположить на первых трёх местах. Количество способов сделать это равно числу перестановок из трёх элементов: $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$. Таким образом, существует 6 чисел, кратных 15.

Ответ: 6