Номер 737, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

737. Сколько шестизначных чисел, в записи которых каждая цифра используется только один раз, можно составить из цифр:

а) 1, 2, 5, 6, 7, 8;

б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?

а)

В данном случае нам нужно составить шестизначные числа из шести различных цифр: 1, 2, 5, 6, 7, 8. Так как все предложенные цифры отличны от нуля, любая их перестановка будет образовывать уникальное шестизначное число.

Задача сводится к нахождению количества перестановок из 6 элементов. Число перестановок для $n$ различных элементов вычисляется по формуле:

$P_n = n!$

Для нашего случая $n=6$:

$P_6 = 6! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720$.

Следовательно, можно составить 720 различных шестизначных чисел.

Ответ: 720.

б)

Здесь нам нужно составить шестизначные числа из шести различных цифр: 0, 2, 5, 6, 7, 8. Главное условие для шестизначного числа — оно не может начинаться с цифры 0.

Воспользуемся правилом произведения для подсчета количества вариантов.

• На первую позицию (сотни тысяч) можно поставить любую из 5 цифр, кроме 0 (то есть 2, 5, 6, 7, 8). Итого 5 вариантов.
• После выбора первой цифры у нас остается 5 цифр (включая 0). На вторую позицию (десятки тысяч) можно поставить любую из этих 5 оставшихся цифр. Итого 5 вариантов.
• На третью позицию останется 4 цифры. Итого 4 варианта.
• На четвертую — 3 варианта.
• На пятую — 2 варианта.
• На шестую — 1 оставшийся вариант.

Общее количество возможных шестизначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$5 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5 \times 5! = 5 \times 120 = 600$.

Альтернативное решение: можно найти общее число всех перестановок из 6 данных цифр и вычесть из него те перестановки, которые начинаются с 0.

Общее число перестановок из 6 цифр: $P_6 = 6! = 720$.

Число перестановок, которые начинаются с 0: если первая цифра зафиксирована как 0, то остальные 5 цифр (2, 5, 6, 7, 8) можно расставить на 5 оставшихся местах $P_5 = 5!$ способами.

$P_5 = 5! = 120$.

Искомое количество шестизначных чисел: $P_6 - P_5 = 720 - 120 = 600$.

Ответ: 600.