Страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

732. Сколькими способами 4 человека могут разместиться на четырёхместной скамейке?

Эта задача решается с помощью понятий комбинаторики, а именно — нахождения числа перестановок. Перестановка — это комбинация, в которой важен порядок следования элементов. В данном случае у нас есть 4 человека и 4 места, и нам нужно найти, сколькими способами их можно рассадить, то есть упорядочить.

Рассуждаем последовательно, занимая места на скамейке одно за другим:
1. На первое место может сесть любой из 4 человек. Таким образом, есть 4 варианта выбора.
2. Когда первое место занято, на второе место может сесть любой из 3 оставшихся человек. Это даёт нам 3 варианта.
3. На третье место остаётся 2 человека, то есть 2 варианта.
4. На последнее, четвёртое место, может сесть только 1 оставшийся человек, то есть 1 вариант.

Согласно основному правилу комбинаторики (правилу умножения), общее количество способов размещения равно произведению числа вариантов для каждого шага. Это число является количеством перестановок из 4 элементов и обозначается как $P_4$. Формула для числа перестановок из $n$ элементов: $P_n = n!$ (читается как "n факториал").

Применим формулу для нашего случая, где $n=4$:
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Таким образом, существует 24 способа разместить 4 человек на четырёхместной скамейке.
Ответ: 24

733. Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

Данная задача заключается в определении количества возможных последовательностей посещения 7 различных учреждений. Поскольку порядок посещения важен (изменение порядка создает новый маршрут), нам необходимо найти число перестановок из 7 элементов.

Число перестановок из $n$ различных элементов обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле факториала:

$P_n = n!$

В данном случае у нас $n = 7$ учреждений. Подставим это значение в формулу:

$P_7 = 7!$

Теперь рассчитаем значение факториала семи:

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

Таким образом, существует 5040 различных маршрутов, которые может выбрать курьер.

Ответ: 5040

734. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?

Данная задача заключается в нахождении количества перестановок для множества из 9 элементов. Перестановка — это расположение объектов в определенном порядке. В нашем случае объектами являются 9 человек, а порядком — их место в очереди.

Рассуждаем следующим образом:

- На первое место в очереди может встать любой из 9 человек, следовательно, у нас есть 9 вариантов.
- После того как первый человек занял свое место, на второе место претендуют оставшиеся 8 человек. Это дает нам 8 вариантов.
- На третье место могут встать 7 оставшихся человек, то есть 7 вариантов.
- И так далее, пока не дойдем до последнего, девятого места. На него останется только один человек, то есть 1 вариант.

Чтобы найти общее число возможных способов, необходимо перемножить число вариантов для каждой позиции в очереди. Это число равно факториалу числа 9.

Формула для числа перестановок из $n$ элементов выглядит так: $P_n = n!$.

В нашем случае $n=9$, поэтому нам нужно вычислить $9!$:

$9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

$9! = 72 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$9! = 504 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$9! = 3024 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$9! = 15120 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$9! = 60480 \times 3 \times 2 \times 1$
$9! = 181440 \times 2 \times 1$
$9! = 362880 \times 1 = 362880$

Следовательно, 9 человек могут встать в очередь 362 880 различными способами.

Ответ: 362880.

735. Сколько существует выражений, тождественно равных произ-ведению $abcde$, которые получаются из него перестановкой множителей?

Данное выражение abcde представляет собой произведение пяти различных множителей: a, b, c, d и e. Согласно условию, нужно найти количество выражений, которые получаются из исходного путем перестановки множителей и тождественно ему равны.

В силу коммутативного (переместительного) закона умножения, от перемены мест множителей произведение не меняется. Это означает, что любое выражение, полученное перестановкой множителей a, b, c, d, e, будет тождественно равно исходному выражению abcde. Например, bacde = abcde, edcba = abcde и так далее.

Следовательно, задача сводится к нахождению количества всех возможных перестановок из пяти различных элементов. В комбинаторике число перестановок из $n$ элементов обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле:
$P_n = n!$
где $n!$ (читается как «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

В нашем случае количество множителей $n = 5$. Подставляя это значение в формулу, получаем:
$P_5 = 5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5$
$5! = 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 6 \times 4 \times 5 = 24 \times 5 = 120$

Таким образом, существует 120 способов переставить пять множителей, и каждый из них создаёт выражение, тождественно равное abcde.

Ответ: 120

736. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придётся перебрать, чтобы дозвониться подруге.

Задача состоит в том, чтобы найти количество всех возможных способов расположения трёх различных цифр (5, 7 и 8) на трёх позициях. Это классическая задача на нахождение числа перестановок из множества различных элементов.

Число перестановок из $n$ различных элементов обозначается $P_n$ и вычисляется по формуле факториала:
$P_n = n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$

В данном случае у нас есть $n=3$ различные цифры. Следовательно, число возможных комбинаций последних трёх цифр номера телефона равно:
$P_3 = 3! = 1 \times 2 \times 3 = 6$

Всего существует 6 возможных вариантов. Перечислим их все:

• 578
• 587
• 758
• 785
• 857
• 875

Вопрос "укажите наибольшее число вариантов, которые ей придётся перебрать" означает, что нужно рассмотреть наихудший сценарий. В худшем случае правильный номер окажется последним в списке перебора. Чтобы гарантированно дозвониться, Ольге нужно быть готовой проверить все 6 возможных вариантов.

Ответ: 6

737. Сколько шестизначных чисел, в записи которых каждая цифра используется только один раз, можно составить из цифр:

а) 1, 2, 5, 6, 7, 8;

б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?

а)

В данном случае нам нужно составить шестизначные числа из шести различных цифр: 1, 2, 5, 6, 7, 8. Так как все предложенные цифры отличны от нуля, любая их перестановка будет образовывать уникальное шестизначное число.

Задача сводится к нахождению количества перестановок из 6 элементов. Число перестановок для $n$ различных элементов вычисляется по формуле:

$P_n = n!$

Для нашего случая $n=6$:

$P_6 = 6! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720$.

Следовательно, можно составить 720 различных шестизначных чисел.

Ответ: 720.

б)

Здесь нам нужно составить шестизначные числа из шести различных цифр: 0, 2, 5, 6, 7, 8. Главное условие для шестизначного числа — оно не может начинаться с цифры 0.

Воспользуемся правилом произведения для подсчета количества вариантов.

• На первую позицию (сотни тысяч) можно поставить любую из 5 цифр, кроме 0 (то есть 2, 5, 6, 7, 8). Итого 5 вариантов.
• После выбора первой цифры у нас остается 5 цифр (включая 0). На вторую позицию (десятки тысяч) можно поставить любую из этих 5 оставшихся цифр. Итого 5 вариантов.
• На третью позицию останется 4 цифры. Итого 4 варианта.
• На четвертую — 3 варианта.
• На пятую — 2 варианта.
• На шестую — 1 оставшийся вариант.

Общее количество возможных шестизначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$5 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5 \times 5! = 5 \times 120 = 600$.

Альтернативное решение: можно найти общее число всех перестановок из 6 данных цифр и вычесть из него те перестановки, которые начинаются с 0.

Общее число перестановок из 6 цифр: $P_6 = 6! = 720$.

Число перестановок, которые начинаются с 0: если первая цифра зафиксирована как 0, то остальные 5 цифр (2, 5, 6, 7, 8) можно расставить на 5 оставшихся местах $P_5 = 5!$ способами.

$P_5 = 5! = 120$.

Искомое количество шестизначных чисел: $P_6 - P_5 = 720 - 120 = 600$.

Ответ: 600.

738. Сколько среди четырёхзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без их повторения), таких, которые:

a) начинаются с цифры 3;

б) кратны 15?

а)

Мы ищем количество четырёхзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 без повторения, которые начинаются с цифры 3. Поскольку первая цифра числа фиксирована и равна 3, нам нужно определить, сколькими способами можно расположить оставшиеся три цифры (5, 7, 9) на трёх оставшихся местах (сотни, десятки и единицы). Это задача на нахождение числа перестановок из трёх элементов. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n=3$, поэтому количество вариантов равно: $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$. Таким образом, существует 6 таких чисел.

Ответ: 6

б)

Число кратно 15, если оно делится и на 3, и на 5, так как 3 и 5 — взаимно простые числа.

Сначала проверим делимость на 3. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Найдём сумму данных цифр: $3 + 5 + 7 + 9 = 24$. Поскольку 24 делится на 3 ($24 : 3 = 8$), любое четырёхзначное число, составленное из этих цифр, будет кратно 3.

Теперь проверим делимость на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Из набора цифр {3, 5, 7, 9} для последней позиции подходит только цифра 5.

Следовательно, задача сводится к подсчёту количества чисел, составленных из данных цифр, которые оканчиваются на 5. Последняя цифра фиксирована (это 5). Оставшиеся три цифры (3, 7, 9) нужно расположить на первых трёх местах. Количество способов сделать это равно числу перестановок из трёх элементов: $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$. Таким образом, существует 6 чисел, кратных 15.

Ответ: 6

739. Найдите сумму цифр всех четырёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без их повторения).

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько всего можно составить четырехзначных чисел из цифр 1, 3, 5, 7 без их повторения, а затем найти общую сумму цифр всех этих чисел.

1. Найдем общее количество возможных чисел.
Поскольку мы составляем четырехзначные числа из четырех различных цифр без повторения, каждое такое число является перестановкой этих цифр. Количество перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.
В нашем случае $n=4$, поэтому количество уникальных чисел равно:
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
Таким образом, существует 24 различных четырехзначных числа, которые можно составить из заданных цифр.

2. Найдем сумму цифр для одного такого числа.
Каждое из 24 чисел состоит из одного и того же набора цифр: {1, 3, 5, 7}. Например, 1357, 1537, 7531 и т.д. Сумма цифр для любого из этих чисел будет одинаковой:
$1 + 3 + 5 + 7 = 16$

3. Вычислим общую сумму цифр всех чисел.
Мы знаем, что всего существует 24 числа, и сумма цифр для каждого из них равна 16. Чтобы найти общую сумму цифр всех этих чисел, нужно умножить количество чисел на сумму цифр одного числа:
Общая сумма = (Количество чисел) $\times$ (Сумма цифр одного числа)
Общая сумма = $24 \times 16 = 384$

Проверка другим способом:
Рассмотрим, сколько раз каждая из цифр {1, 3, 5, 7} встречается на каждой из четырех позиций (тысяч, сотен, десятков, единиц).
Если зафиксировать одну цифру на любой позиции (например, 1 на месте тысяч), то остальные три цифры можно расставить на оставшихся трех местах $3! = 6$ способами. Это значит, что каждая цифра (1, 3, 5, 7) появляется на каждой позиции ровно 6 раз.
Всего во всех 24 числах есть $24 \times 4 = 96$ цифровых позиций. Каждая из 4 цифр используется равное количество раз, то есть $96 \div 4 = 24$ раза.
Тогда общая сумма всех цифр равна:
(количество появлений) $\times$ (сумма уникальных цифр) = $24 \times (1 + 3 + 5 + 7) = 24 \times 16 = 384$.
Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: 384

740. Сколько чисел можно составить из цифр $1, 2, 3, 4$ (без их повторения), таких, которые:

а) больше $3000$;

б) больше $2000$?

В задаче требуется составлять числа из цифр 1, 2, 3, 4 без повторения. Поскольку числа должны быть больше 2000 и 3000, они очевидно будут четырехзначными. Мы имеем дело с перестановками из 4 элементов.

а) больше 3000
Чтобы четырехзначное число, составленное из цифр 1, 2, 3, 4, было больше 3000, его первая цифра (разряд тысяч) должна быть либо 3, либо 4.
1. Выбор первой цифры: У нас есть 2 варианта для первой позиции (3 или 4).
2. Расстановка остальных цифр: После выбора первой цифры у нас остаются 3 цифры. Эти 3 цифры нужно расставить на оставшиеся 3 позиции (сотни, десятки, единицы). Число способов сделать это равно числу перестановок из 3 элементов, то есть $P_3 = 3!$.
Вычислим факториал: $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.
3. Общее количество чисел: По правилу произведения, общее количество чисел равно произведению числа способов выбора первой цифры на число способов расстановки остальных.
Количество чисел = (Количество вариантов для первой цифры) $\times$ (Количество перестановок для остальных трех цифр) = $2 \cdot 6 = 12$.
Ответ: 12

б) больше 2000
Чтобы четырехзначное число было больше 2000, его первая цифра должна быть 2, 3 или 4.
1. Выбор первой цифры: У нас есть 3 варианта для первой позиции (2, 3 или 4).
2. Расстановка остальных цифр: Как и в предыдущем пункте, после выбора первой цифры у нас остаются 3 неиспользованные цифры, которые можно расставить на оставшихся 3 местах $3!$ способами.
$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ способов.
3. Общее количество чисел: Применяем правило произведения.
Количество чисел = (Количество вариантов для первой цифры) $\times$ (Количество перестановок для остальных трех цифр) = $3 \cdot 6 = 18$.
Ответ: 18