Страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

719. Из цифр 1, 2, 3 составьте все возможные двузначные числа при условии, что:

a) цифры в числе не повторяются;

б) допускается повторение цифр в числе.

а) цифры в числе не повторяются;
Чтобы составить двузначное число из цифр 1, 2, 3 без повторений, нужно выбрать цифру для разряда десятков и цифру для разряда единиц так, чтобы они были различны.
На место десятков можно поставить любую из 3-х цифр (1, 2 или 3).
После того как выбрана цифра для десятков, на место единиц можно поставить любую из 2-х оставшихся цифр.
Следовательно, общее количество таких чисел равно произведению числа вариантов для каждого разряда: $3 \times 2 = 6$.
Перечислим все эти числа:
- с цифрой 1 на первом месте: 12, 13
- с цифрой 2 на первом месте: 21, 23
- с цифрой 3 на первом месте: 31, 32
Ответ: 12, 13, 21, 23, 31, 32.

б) допускается повторение цифр в числе.
Если повторение цифр разрешено, то на место десятков можно поставить любую из 3-х цифр (1, 2 или 3), и на место единиц также можно поставить любую из 3-х цифр.
Таким образом, общее количество возможных чисел равно произведению числа вариантов для каждого разряда: $3 \times 3 = 9$.
Перечислим все эти числа:
- с цифрой 1 на первом месте: 11, 12, 13
- с цифрой 2 на первом месте: 21, 22, 23
- с цифрой 3 на первом месте: 31, 32, 33
Ответ: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.

720. Используя цифры 0, 2, 4, 6, составьте все возможные трёхзначные числа, в которых цифры не повторяются.

Чтобы составить все возможные трёхзначные числа из цифр 0, 2, 4, 6 без повторений, необходимо учесть, что трёхзначное число не может начинаться с нуля.

Рассмотрим варианты для каждой позиции в числе (сотни, десятки, единицы).

1. Выбор первой цифры (разряд сотен).
На эту позицию можно поставить любую из заданных цифр, кроме 0. Следовательно, у нас есть 3 варианта: 2, 4 или 6.

2. Выбор второй цифры (разряд десятков).
Для этой позиции можно использовать любую из 4-х цифр, кроме той, что уже стоит на первом месте. Это означает, что у нас остаётся 3 варианта. Например, если первая цифра 2, то для второй можно выбрать из {0, 4, 6}.

3. Выбор третьей цифры (разряд единиц).
После выбора первых двух цифр у нас остаются 2 неиспользованные цифры. Например, если первые две цифры 2 и 0, то для третьей можно выбрать из {4, 6}.

Общее количество таких чисел можно рассчитать по правилу произведения: $3 \text{ (варианта для сотен)} \times 3 \text{ (варианта для десятков)} \times 2 \text{ (варианта для единиц)} = 18$ чисел.

Теперь перечислим все возможные числа, группируя их по первой цифре:

Если первая цифра 2, то возможные числа: 204, 206, 240, 246, 260, 264.

Если первая цифра 4, то возможные числа: 402, 406, 420, 426, 460, 462.

Если первая цифра 6, то возможные числа: 602, 604, 620, 624, 640, 642.

Ответ: 204, 206, 240, 246, 260, 264, 402, 406, 420, 426, 460, 462, 602, 604, 620, 624, 640, 642.

721. В шахматном турнире участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

Для решения этой задачи можно использовать несколько подходов. Суть задачи заключается в том, чтобы найти количество уникальных пар игроков из 9 человек.

Способ 1: Арифметический подсчет

Давайте представим, что игроки играют по очереди.
Первый игрок должен сыграть с 8 другими игроками. Это 8 партий.
Второй игрок уже сыграл с первым, поэтому ему остается сыграть с оставшимися 7 игроками. Это 7 новых партий.
Третий игрок уже сыграл с первым и вторым, ему остается сыграть с 6 игроками. Это 6 новых партий.
Этот процесс продолжается до тех пор, пока предпоследний игрок не сыграет с последним.
Чтобы найти общее количество партий, нужно сложить все сыгранные уникальные партии:
$8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36$

Способ 2: Комбинаторный подход

Каждая партия — это выбор двух игроков из девяти. Порядок игроков в паре не имеет значения (партия между игроком А и игроком Б — это та же самая партия, что и между игроком Б и игроком А). Следовательно, нам нужно найти число сочетаний из 9 элементов по 2.
Формула для нахождения числа сочетаний:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
где $n$ — общее количество участников ($n=9$), а $k$ — количество участников в одной партии ($k=2$).
Подставляем значения в формулу:
$C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8 \times 7!}{2 \times 1 \times 7!}$
Сократив $7!$ в числителе и знаменателе, получаем:
$C_9^2 = \frac{9 \times 8}{2} = \frac{72}{2} = 36$

Способ 3: Упрощенная логика

Всего в турнире 9 участников. Каждый из них должен сыграть с $9 - 1 = 8$ соперниками.
Если мы умножим количество участников на количество партий для каждого ($9 \times 8 = 72$), мы посчитаем каждую партию ровно два раза (один раз для одного игрока, и второй раз — для его соперника).
Чтобы получить верное количество партий, полученный результат необходимо разделить на 2:
$\frac{9 \times (9-1)}{2} = \frac{72}{2} = 36$

Ответ: 36

722. В соревнованиях по футболу участвовало 12 команд. Каждая команда провела с каждой из остальных по одной игре на своём поле и по одной игре на поле соперника. Сколько всего игр было сыграно?

Для решения этой задачи определим, сколько игр проводит каждая команда, и как это связано с общим количеством игр в турнире.

В соревновании участвует 12 команд. Каждая команда должна сыграть со всеми остальными. Количество соперников для одной команды составляет $12 - 1 = 11$ команд.

Согласно условию, с каждым из 11 соперников команда играет дважды: один раз на своем поле (домашняя игра) и один раз на поле соперника (гостевая или выездная игра).

Рассмотрим общее количество игр с точки зрения одной команды. Каждая из 12 команд проведет 11 домашних игр. Поскольку в каждой игре есть ровно одна команда-хозяин, общее количество игр в турнире будет равно общему количеству всех домашних игр, сыгранных всеми командами.

Чтобы найти общее количество игр, нужно умножить количество команд на количество домашних игр, которое проводит каждая команда:

Общее количество игр = (Количество команд) × (Количество домашних игр на команду)

Подставляем значения:

$12 \times 11 = 132$

Альтернативный способ (с помощью комбинаторики):

Каждая игра представляет собой упорядоченную пару команд (команда-хозяин, команда-гость). Например, игра, где Команда 1 принимает Команду 2, — это не то же самое, что игра, где Команда 2 принимает Команду 1. Нам нужно найти количество всех возможных упорядоченных пар из двух разных команд, которые можно составить из 12 имеющихся. Это задача на нахождение числа размещений из $n$ элементов по $k$.

Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее число команд $n = 12$, а в каждой игре участвуют $k = 2$ команды.

Число игр = $A_{12}^2 = \frac{12!}{(12-2)!} = \frac{12!}{10!} = 12 \times 11 = 132$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 132

723. При встрече 8 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Данная задача является классической комбинаторной задачей, которую можно решить несколькими способами.

Решение с помощью комбинаторики

Каждое рукопожатие — это уникальная пара из двух человек. Порядок людей в паре не важен (рукопожатие между человеком А и Б — то же самое, что и между Б и А). Следовательно, нам необходимо найти число сочетаний из 8 человек по 2.

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит так:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число людей $n = 8$, а в каждом рукопожатии участвуют $k = 2$ человека. Подставляем значения в формулу:
$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!}$

Чтобы упростить вычисление, распишем факториалы и сократим общие множители:
$C_8^2 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2 \cdot 1 \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$

Решение с помощью логического подсчета

Можно решить задачу, рассуждая логически. Каждый из 8 человек пожимает руку 7 другим. Если мы просто умножим $8 \cdot 7$, то получим 56. Однако при таком подходе каждое рукопожатие будет посчитано дважды (один раз для первого участника и второй раз — для второго). Поэтому результат необходимо разделить на 2.
$\frac{8 \cdot (8-1)}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$

Этот же результат можно получить, если последовательно суммировать уникальные рукопожатия для каждого человека. Первый человек пожмет 7 рук. Второй — 6 новых рук (так как с первым он уже обменялся рукопожатием). Третий — 5 новых, и так далее до седьмого человека, который пожмет одну последнюю руку восьмому.
Общее число рукопожатий будет равно сумме:
$7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28$

Ответ: 28

724. Учащиеся 9 класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 24 учащихся?

В данной задаче нам необходимо вычислить общее количество фотографий, которыми обменяются ученики. В классе 24 учащихся, и каждый из них должен дать свою фотографию всем остальным одноклассникам.

Способ 1: Логическое рассуждение

Каждый из 24 учеников должен дать по одной фотографии каждому другому ученику в классе. Количество других учеников для каждого составляет $24 - 1 = 23$.

Следовательно, каждый из 24 учеников должен принести 23 фотографии. Чтобы найти общее количество фотографий, нужно умножить количество учеников на количество фотографий, которое приготовит каждый:

$24 \text{ (учеников)} \times 23 \text{ (фотографии от каждого)} = 552 \text{ (фотографии)}$

Способ 2: Использование формул комбинаторики

Процесс обмена фотографиями можно рассматривать как создание упорядоченных пар учеников (дающий, получающий). Например, пара (Иван, Мария) означает, что Иван дает фотографию Марии, и это отличается от пары (Мария, Иван), где Мария дает фотографию Ивану.

Нам нужно найти число размещений из 24 элементов по 2. Формула для числа размещений из $n$ по $k$ имеет вид:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае $n = 24$ (общее число учеников) и $k = 2$ (в каждом акте обмена участвуют двое).

Подставляем значения в формулу:

$A_{24}^2 = \frac{24!}{(24-2)!} = \frac{24!}{22!} = \frac{22! \times 23 \times 24}{22!} = 23 \times 24 = 552$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 552.

725. На входной двери дома установлен домофон, на котором нанесены цифры 0, 1, 2, ..., 8, 9. Каждая квартира получает код из двух цифр типа 0–2, 3–7, 7–3, 8–8 и т. п., позволяющий открывать входную дверь. Хватит ли кодов для всех квартир дома, если в доме 96 квартир?

Чтобы определить, хватит ли кодов для всех квартир, необходимо рассчитать общее количество возможных комбинаций кодов и сравнить это число с количеством квартир.

На домофоне используются цифры от 0 до 9. Всего 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Каждый код состоит из двух цифр. Поскольку в условии приведены примеры 3–7 и 7–3, порядок цифр важен. Также есть пример 8–8, что означает, что цифры в коде могут повторяться.

Рассчитаем общее количество возможных кодов.

Для выбора первой цифры кода есть 10 вариантов (любая из цифр от 0 до 9).

Для выбора второй цифры кода также есть 10 вариантов (любая из цифр от 0 до 9).

Чтобы найти общее количество уникальных двухзначных кодов, нужно перемножить количество вариантов для первой и второй цифры, согласно комбинаторному правилу умножения.
Общее количество кодов = $10 \times 10 = 100$.

В доме 96 квартир. Сравним количество возможных кодов с количеством квартир:
$100 > 96$.

Так как количество возможных кодов (100) больше, чем количество квартир (96), кодов хватит для всех квартир.

Ответ: да, хватит.

726. Из села Дятлово в село Матвеевское ведут три дороги, а из села Матвеевское в село Першино — четыре дороги. Сколькими способами можно попасть из Дятлово в Першино через Матвеевское?

Для того чтобы найти общее количество способов добраться из села Дятлово в село Першино через село Матвеевское, необходимо применить основное правило комбинаторики — правило умножения.

Разобьем весь путь на два последовательных этапа:

1. Выбор дороги из села Дятлово в село Матвеевское.
По условию задачи, на этом этапе существует 3 различных варианта (дороги). Пусть количество этих вариантов будет $N_1$.
$N_1 = 3$

2. Выбор дороги из села Матвеевское в село Першино.
На втором этапе пути существует 4 различных варианта (дороги). Пусть количество этих вариантов будет $N_2$.
$N_2 = 4$

Поскольку для каждой из трёх дорог на первом этапе можно выбрать любую из четырёх дорог на втором этапе, общее количество способов $N$ будет равно произведению числа способов на каждом этапе.

$N = N_1 \times N_2$

Подставим числовые значения в формулу:

$N = 3 \times 4 = 12$

Следовательно, существует 12 различных способов попасть из Дятлово в Першино через Матвеевское.

Ответ: 12.

727. В кафе имеются три первых блюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?

Данная задача решается с помощью правила умножения в комбинаторике. Чтобы найти общее количество способов выбрать обед, состоящий из трех блюд (первого, второго и третьего), нужно перемножить количество вариантов для каждого блюда.

Пусть $N_1$ — это количество вариантов для выбора первого блюда, $N_2$ — количество вариантов для второго блюда, а $N_3$ — количество вариантов для третьего блюда.

По условию задачи нам известно, что:
- Количество первых блюд: $N_1 = 3$
- Количество вторых блюд: $N_2 = 5$
- Количество третьих блюд: $N_3 = 2$

Общее количество способов $N$ выбрать обед равно произведению числа способов выбора каждого блюда:

$N = N_1 \times N_2 \times N_3$

Подставим числовые значения в формулу:

$N = 3 \times 5 \times 2 = 30$

Таким образом, существует 30 различных способов, которыми посетитель кафе может выбрать обед.

Ответ: 30

728. Пётр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетёра. В ателье проката ему предложили на выбор различные по фасону и цвету предметы: пять видов брюк, шесть камзолов, три шляпы, две пары сапог. Сколько различных карнавальных костюмов можно составить из этих предметов?

Для решения этой задачи используется основное правило комбинаторики — правило умножения. Оно гласит, что если элемент A можно выбрать n способами, и после каждого такого выбора элемент B можно выбрать m способами, то выбор пары (A, B) можно осуществить n × m способами.

В нашем случае для создания полного костюма мушкетёра необходимо последовательно и независимо друг от друга выбрать четыре элемента: брюки, камзол, шляпу и сапоги.

Определим количество вариантов для каждого элемента костюма:
1. Выбор брюк: есть 5 различных видов.
2. Выбор камзола: есть 6 различных видов.
3. Выбор шляпы: есть 3 различных вида.
4. Выбор сапог: есть 2 различные пары.

Чтобы найти общее число различных карнавальных костюмов, нужно перемножить количество вариантов для каждого из этих предметов.

Общее количество костюмов (N) рассчитывается по формуле:
$N = (\text{количество видов брюк}) \times (\text{количество камзолов}) \times (\text{количество шляп}) \times (\text{количество пар сапог})$

Подставим данные из условия задачи:
$N = 5 \times 6 \times 3 \times 2$

Выполним умножение:
$5 \times 6 = 30$
$30 \times 3 = 90$
$90 \times 2 = 180$

Таким образом, из предложенного набора предметов можно составить 180 различных карнавальных костюмов.

Ответ: 180.