Номер 721, страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

721. В шахматном турнире участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

Для решения этой задачи можно использовать несколько подходов. Суть задачи заключается в том, чтобы найти количество уникальных пар игроков из 9 человек.

Способ 1: Арифметический подсчет

Давайте представим, что игроки играют по очереди.
Первый игрок должен сыграть с 8 другими игроками. Это 8 партий.
Второй игрок уже сыграл с первым, поэтому ему остается сыграть с оставшимися 7 игроками. Это 7 новых партий.
Третий игрок уже сыграл с первым и вторым, ему остается сыграть с 6 игроками. Это 6 новых партий.
Этот процесс продолжается до тех пор, пока предпоследний игрок не сыграет с последним.
Чтобы найти общее количество партий, нужно сложить все сыгранные уникальные партии:
$8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36$

Способ 2: Комбинаторный подход

Каждая партия — это выбор двух игроков из девяти. Порядок игроков в паре не имеет значения (партия между игроком А и игроком Б — это та же самая партия, что и между игроком Б и игроком А). Следовательно, нам нужно найти число сочетаний из 9 элементов по 2.
Формула для нахождения числа сочетаний:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
где $n$ — общее количество участников ($n=9$), а $k$ — количество участников в одной партии ($k=2$).
Подставляем значения в формулу:
$C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8 \times 7!}{2 \times 1 \times 7!}$
Сократив $7!$ в числителе и знаменателе, получаем:
$C_9^2 = \frac{9 \times 8}{2} = \frac{72}{2} = 36$

Способ 3: Упрощенная логика

Всего в турнире 9 участников. Каждый из них должен сыграть с $9 - 1 = 8$ соперниками.
Если мы умножим количество участников на количество партий для каждого ($9 \times 8 = 72$), мы посчитаем каждую партию ровно два раза (один раз для одного игрока, и второй раз — для его соперника).
Чтобы получить верное количество партий, полученный результат необходимо разделить на 2:
$\frac{9 \times (9-1)}{2} = \frac{72}{2} = 36$

Ответ: 36