Номер 716, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

716. Стадион имеет четыре входа: A, B, C и D. Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько таких способов?

Данная задача относится к разделу комбинаторики. Нам нужно определить количество упорядоченных пар (вход, выход) из множества четырех входов {A, B, C, D} при условии, что элементы в паре не могут быть одинаковыми.

Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой

Чтобы перечислить все возможные способы, мы можем последовательно рассмотреть каждый вход и для него указать все возможные выходы, которые не совпадают с входом. Способы будем записывать в виде пар (Вход, Выход).

• Если посетитель входит через A, то для выхода остаются входы B, C, D. Это дает 3 способа: (A, B), (A, C), (A, D).
• Если посетитель входит через B, то для выхода остаются входы A, C, D. Это дает 3 способа: (B, A), (B, C), (B, D).
• Если посетитель входит через C, то для выхода остаются входы A, B, D. Это дает 3 способа: (C, A), (C, B), (C, D).
• Если посетитель входит через D, то для выхода остаются входы A, B, C. Это дает 3 способа: (D, A), (D, B), (D, C).

Ответ: все возможные способы: (A, B), (A, C), (A, D), (B, A), (B, C), (B, D), (C, A), (C, B), (C, D), (D, A), (D, B), (D, C).

Сколько таких способов?

Для подсчета общего количества способов можно использовать два подхода.

1. Правило умножения:

Выбор входа и выбор выхода — это два последовательных действия.

• Количество способов выбрать вход: 4 (можно выбрать A, B, C или D).
• После того как вход выбран, количество способов выбрать выход, который не совпадает с входом, равно 3. Например, если вошли через А, выйти можно через B, C или D.

Согласно правилу умножения, общее число способов равно произведению числа вариантов для каждого действия: $N = 4 \times 3 = 12$

2. Формула размещений:

Так как порядок выбора важен (пара "вошел через A, вышел через B" отличается от пары "вошел через B, вышел через A"), мы имеем дело с размещениями. Нам нужно найти число размещений из 4-х элементов по 2. Формула для числа размещений из $n$ элементов по $k$ выглядит так: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае $n=4$ (всего входов) и $k=2$ (выбираем вход и выход). $A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 4 \times 3 = 12$

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: существует 12 таких способов.