Номер 712, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

712. Геометрическая прогрессия состоит из пятнадцати членов. Сумма первых пяти членов равна $\frac{11}{64}$, а сумма следующих пяти членов равна $-5\frac{1}{2}$. Найдите сумму последних пяти членов этой прогрессии.

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_n$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Всего в прогрессии 15 членов.

Условия задачи можно сгруппировать по суммам пяти последовательных членов:

1. Сумма первых пяти членов (с 1-го по 5-й):
$S_{1-5} = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = \frac{11}{64}$.

2. Сумма следующих пяти членов (с 6-го по 10-й):
$S_{6-10} = b_6 + b_7 + b_8 + b_9 + b_{10} = -5\frac{1}{2} = -\frac{11}{2}$.

3. Сумма последних пяти членов (с 11-го по 15-й), которую необходимо найти:
$S_{11-15} = b_{11} + b_{12} + b_{13} + b_{14} + b_{15}$.

Выразим связь между этими суммами. Каждый член в группе $S_{6-10}$ можно получить, умножив соответствующий член из группы $S_{1-5}$ на $q^5$. Например, $b_6 = b_1 \cdot q^5$, $b_7 = b_2 \cdot q^5$, и так далее.

Таким образом, сумма $S_{6-10}$ связана с $S_{1-5}$ следующим образом:
$S_{6-10} = b_1q^5 + b_2q^5 + \dots + b_5q^5 = q^5(b_1 + b_2 + \dots + b_5) = q^5 \cdot S_{1-5}$.

Аналогично, каждый член в группе $S_{11-15}$ можно получить, умножив соответствующий член из группы $S_{6-10}$ на $q^5$.
$S_{11-15} = b_6q^5 + b_7q^5 + \dots + b_{10}q^5 = q^5(b_6 + b_7 + \dots + b_{10}) = q^5 \cdot S_{6-10}$.

Это означает, что суммы $S_{1-5}$, $S_{6-10}$ и $S_{11-15}$ сами образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $Q = q^5$.

Найдем этот новый знаменатель $Q$, используя известные суммы:

$Q = \frac{S_{6-10}}{S_{1-5}} = \frac{-\frac{11}{2}}{\frac{11}{64}} = -\frac{11}{2} \cdot \frac{64}{11} = -\frac{64}{2} = -32$.

Теперь мы можем найти искомую сумму $S_{11-15}$, зная, что она является следующим членом этой новой прогрессии:

$S_{11-15} = S_{6-10} \cdot Q = \left(-\frac{11}{2}\right) \cdot (-32) = \frac{11 \cdot 32}{2} = 11 \cdot 16 = 176$.

Ответ: 176