Номер 706, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

706. Первый и девятый члены геометрической прогрессии рав-ны соответственно 135 и $5 \over 3$. Найдите заключённые между ними члены этой прогрессии.

Обозначим члены геометрической прогрессии как $b_n$. По условию задачи, первый член прогрессии $b_1 = 135$, а девятый член $b_9 = \frac{5}{3}$. Нам необходимо найти все члены прогрессии, расположенные между ними, то есть $b_2, b_3, b_4, b_5, b_6, b_7$ и $b_8$.

Для нахождения этих членов сначала определим знаменатель геометрической прогрессии $q$. Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Применим эту формулу для девятого члена прогрессии:

$b_9 = b_1 \cdot q^{9-1}$

Подставим известные значения $b_1$ и $b_9$ в формулу:

$\frac{5}{3} = 135 \cdot q^8$

Теперь решим это уравнение относительно $q^8$:

$q^8 = \frac{5/3}{135} = \frac{5}{3 \cdot 135} = \frac{5}{405} = \frac{1}{81}$

Чтобы найти $q$, нужно извлечь корень восьмой степени из обеих частей уравнения. Важно помнить, что при извлечении корня чётной степени возможно два решения — положительное и отрицательное.

$q = \pm\sqrt[8]{\frac{1}{81}} = \pm\frac{1}{(3^4)^{1/8}} = \pm\frac{1}{3^{4/8}} = \pm\frac{1}{3^{1/2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$

Таким образом, существуют два возможных знаменателя прогрессии, а значит, и два возможных набора искомых членов. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $q = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Последовательно находим каждый следующий член, умножая предыдущий на $q$:

$b_2 = b_1 \cdot q = 135 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{135\sqrt{3}}{3} = 45\sqrt{3}$

$b_3 = b_2 \cdot q = 45\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 45$

$b_4 = b_3 \cdot q = 45 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{45\sqrt{3}}{3} = 15\sqrt{3}$

$b_5 = b_4 \cdot q = 15\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 15$

$b_6 = b_5 \cdot q = 15 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$

$b_7 = b_6 \cdot q = 5\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 5$

$b_8 = b_7 \cdot q = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$

Случай 2: $q = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

В этом случае абсолютные значения членов прогрессии будут такими же, как и в первом случае, но их знаки будут чередоваться, начиная с отрицательного для $b_2$.

$b_2 = b_1 \cdot q = 135 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -45\sqrt{3}$

$b_3 = b_2 \cdot q = -45\sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 45$

$b_4 = b_3 \cdot q = 45 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -15\sqrt{3}$

$b_5 = b_4 \cdot q = -15\sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 15$

$b_6 = b_5 \cdot q = 15 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -5\sqrt{3}$

$b_7 = b_6 \cdot q = -5\sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 5$

$b_8 = b_7 \cdot q = 5 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{5\sqrt{3}}{3}$

Ответ: Существует два возможных набора членов прогрессии, заключённых между первым и девятым:
1) $45\sqrt{3}, 45, 15\sqrt{3}, 15, 5\sqrt{3}, 5, \frac{5\sqrt{3}}{3}$;
2) $-45\sqrt{3}, 45, -15\sqrt{3}, 15, -5\sqrt{3}, 5, -\frac{5\sqrt{3}}{3}$.