Номер 708, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

708. Докажите, что если $(a_n)$ — геометрическая прогрессия, то:

a) $a_2 \cdot a_6 = a_3 \cdot a_5;$

б) $a_{n-3} \cdot a_{n+8} = a_n \cdot a_{n+5}$, где $n > 3$.

Для доказательства воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $(a_n)$: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

а) Докажем равенство $a_2 \cdot a_6 = a_3 \cdot a_5$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу n-го члена:
$a_2 \cdot a_6 = (a_1 \cdot q^{2-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{6-1}) = (a_1 \cdot q) \cdot (a_1 \cdot q^5) = a_1^2 \cdot q^{1+5} = a_1^2 \cdot q^6$.

Теперь преобразуем правую часть равенства:
$a_3 \cdot a_5 = (a_1 \cdot q^{3-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{5-1}) = (a_1 \cdot q^2) \cdot (a_1 \cdot q^4) = a_1^2 \cdot q^{2+4} = a_1^2 \cdot q^6$.

Поскольку левая и правая части равны одному и тому же выражению ($a_1^2 \cdot q^6$), то равенство $a_2 \cdot a_6 = a_3 \cdot a_5$ является верным.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Докажем равенство $a_{n-3} \cdot a_{n+8} = a_n \cdot a_{n+5}$, где $n > 3$.

Условие $n > 3$ обеспечивает, что все индексы членов прогрессии ($n-3$, $n$, $n+5$, $n+8$) являются натуральными числами (так как наименьший индекс $n-3 \geq 1$ при $n \geq 4$).

Преобразуем левую часть равенства:
$a_{n-3} \cdot a_{n+8} = (a_1 \cdot q^{(n-3)-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{(n+8)-1}) = (a_1 \cdot q^{n-4}) \cdot (a_1 \cdot q^{n+7}) = a_1^2 \cdot q^{(n-4)+(n+7)} = a_1^2 \cdot q^{2n+3}$.

Преобразуем правую часть равенства:
$a_n \cdot a_{n+5} = (a_1 \cdot q^{n-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{(n+5)-1}) = (a_1 \cdot q^{n-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{n+4}) = a_1^2 \cdot q^{(n-1)+(n+4)} = a_1^2 \cdot q^{2n+3}$.

Левая и правая части равны ($a_1^2 \cdot q^{2n+3}$), следовательно, равенство $a_{n-3} \cdot a_{n+8} = a_n \cdot a_{n+5}$ верно для всех $n>3$.
Ответ: Что и требовалось доказать.