Страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

703. Существуют ли три числа, которые составляют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессии?

Да, такие числа существуют. Проанализируем условия, которым должны удовлетворять эти числа.

Пусть искомые три числа — это $a$, $b$ и $c$.

1. Если числа образуют арифметическую прогрессию.

По определению арифметической прогрессии, разность между соседними членами постоянна. Это можно выразить с помощью характеристического свойства: каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому своих соседей. Для наших трех чисел это означает:

$b = \frac{a+c}{2}$

Из этого равенства следует:

$2b = a + c$ (1)

2. Если числа образуют геометрическую прогрессию.

По определению геометрической прогрессии, отношение соседних членов постоянно. Характеристическое свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению его соседей. Для наших трех чисел это означает:

$b^2 = ac$ (2)

Чтобы найти числа, которые удовлетворяют обоим условиям, решим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} 2b = a + c \\ b^2 = ac \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $c$:

$c = 2b - a$

Подставим это выражение для $c$ во второе уравнение:

$b^2 = a(2b - a)$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$b^2 = 2ab - a^2$

$a^2 - 2ab + b^2 = 0$

Мы получили формулу полного квадрата разности:

$(a - b)^2 = 0$

Это уравнение имеет единственное решение:

$a - b = 0 \implies a = b$

Теперь подставим результат $a=b$ обратно в первое уравнение системы ($2b = a + c$):

$2a = a + c$

$c = 2a - a \implies c = a$

Таким образом, мы пришли к выводу, что все три числа должны быть равны друг другу: $a = b = c$.

Проверим этот вывод. Пусть три числа равны, например, $k, k, k$.

Являются ли они арифметической прогрессией? Да, разность такой прогрессии $d = k - k = 0$.

Являются ли они геометрической прогрессией? Да. Если $k \neq 0$, то знаменатель прогрессии $q = k/k = 1$. Если $k=0$, то последовательность $0, 0, 0$ также является геометрической, так как выполняется свойство $b^2 = ac$ ($0^2 = 0 \cdot 0$).

Следовательно, три числа составляют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессию тогда и только тогда, когда эти три числа равны.

Ответ: Да, существуют. Это возможно в том случае, если все три числа равны между собой (например, последовательность 5, 5, 5).

704. Является ли геометрической прогрессией последовательность $(x_n)$, если:

а) $x_n = 2^n;$

б) $x_n = 3^{-n};$

в) $x_n = n^2;$

г) $x_n = ab^n$, где $a \ne 0, b \ne 0?$

Для того чтобы определить, является ли последовательность $(x_n)$ геометрической прогрессией, необходимо проверить, является ли отношение каждого последующего члена к предыдущему, то есть частное $\frac{x_{n+1}}{x_n}$, постоянной величиной (константой), не зависящей от $n$. Эта величина называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается $q$. Также все члены прогрессии должны быть отличны от нуля.

а) $x_n = 2^n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив $n+1$ вместо $n$: $x_{n+1} = 2^{n+1}$.

Теперь найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:

$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2^{(n+1)-n} = 2^1 = 2$.

Отношение равно 2, что является постоянной величиной (не зависит от $n$). Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 2$.

Ответ: да, является.

б) $x_n = 3^{-n}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = 3^{-(n+1)} = 3^{-n-1}$.

Теперь найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:

$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{3^{-n-1}}{3^{-n}} = 3^{(-n-1)-(-n)} = 3^{-n-1+n} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Отношение равно $\frac{1}{3}$, что является постоянной величиной. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{3}$.

Ответ: да, является.

в) $x_n = n^2$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = (n+1)^2$.

Теперь найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:

$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{(n+1)^2}{n^2} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2$.

Это отношение зависит от $n$, значит, оно не является постоянной величиной. Для примера, найдем отношение для нескольких первых членов:

$\frac{x_2}{x_1} = \frac{2^2}{1^2} = 4$

$\frac{x_3}{x_2} = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} = 2.25$

Так как $4 \neq 2.25$, отношение не постоянно, и последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: нет, не является.

г) $x_n = ab^n$, где $a \neq 0, b \neq 0$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = ab^{n+1}$.

Условия $a \neq 0$ и $b \neq 0$ гарантируют, что все члены последовательности $x_n$ отличны от нуля.

Теперь найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:

$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{ab^{n+1}}{ab^n}$.

Поскольку $a \neq 0$, мы можем сократить дробь на $a$:

$\frac{ab^{n+1}}{ab^n} = \frac{b^{n+1}}{b^n} = b^{(n+1)-n} = b^1 = b$.

Отношение равно $b$, что является постоянной величиной (не зависит от $n$). Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = b$.

Ответ: да, является.

705. Известны первый член и знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$). Найдите $b_n$, если:

a) $b_1 = \frac{243}{256}, q = \frac{2}{3}, n = 8;$

б) $b_1 = \sqrt{\frac{2}{3}}, q = -\sqrt{6}, n = 5.$

а) Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

В данном случае нам даны: $b_1 = \frac{243}{256}$, $q = \frac{2}{3}$ и $n=8$.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти $b_8$:

$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = b_1 \cdot q^7 = \frac{243}{256} \cdot (\frac{2}{3})^7$.

Вычислим $(\frac{2}{3})^7$:

$(\frac{2}{3})^7 = \frac{2^7}{3^7} = \frac{128}{2187}$.

Теперь подставим это значение обратно в выражение для $b_8$:

$b_8 = \frac{243}{256} \cdot \frac{128}{2187}$.

Можно заметить, что $243 = 3^5$ и $256 = 2^8$. Также $2187 = 3^7$ и $128=2^7$. Подставим эти значения:

$b_8 = \frac{3^5}{2^8} \cdot \frac{2^7}{3^7}$.

Сократим степени:

$b_8 = \frac{3^5 \cdot 2^7}{2^8 \cdot 3^7} = \frac{1}{2^{8-7} \cdot 3^{7-5}} = \frac{1}{2^1 \cdot 3^2} = \frac{1}{2 \cdot 9} = \frac{1}{18}$.

Ответ: $b_8 = \frac{1}{18}$.

б) Используем ту же формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Нам даны: $b_1 = \sqrt{\frac{2}{3}}$, $q = -\sqrt{6}$ и $n=5$.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти $b_5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4 = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot (-\sqrt{6})^4$.

Вычислим $(-\sqrt{6})^4$:

Так как степень четная, знак минус исчезает: $(-\sqrt{6})^4 = (\sqrt{6})^4 = ((\sqrt{6})^2)^2 = 6^2 = 36$.

Теперь подставим это значение обратно в выражение для $b_5$:

$b_5 = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot 36$.

Упростим выражение:

$b_5 = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot 36 = \frac{36\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$b_5 = \frac{36\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{6}}{3} = 12\sqrt{6}$.

Ответ: $b_5 = 12\sqrt{6}$.

706. Первый и девятый члены геометрической прогрессии рав-ны соответственно 135 и $5 \over 3$. Найдите заключённые между ними члены этой прогрессии.

Обозначим члены геометрической прогрессии как $b_n$. По условию задачи, первый член прогрессии $b_1 = 135$, а девятый член $b_9 = \frac{5}{3}$. Нам необходимо найти все члены прогрессии, расположенные между ними, то есть $b_2, b_3, b_4, b_5, b_6, b_7$ и $b_8$.

Для нахождения этих членов сначала определим знаменатель геометрической прогрессии $q$. Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Применим эту формулу для девятого члена прогрессии:

$b_9 = b_1 \cdot q^{9-1}$

Подставим известные значения $b_1$ и $b_9$ в формулу:

$\frac{5}{3} = 135 \cdot q^8$

Теперь решим это уравнение относительно $q^8$:

$q^8 = \frac{5/3}{135} = \frac{5}{3 \cdot 135} = \frac{5}{405} = \frac{1}{81}$

Чтобы найти $q$, нужно извлечь корень восьмой степени из обеих частей уравнения. Важно помнить, что при извлечении корня чётной степени возможно два решения — положительное и отрицательное.

$q = \pm\sqrt[8]{\frac{1}{81}} = \pm\frac{1}{(3^4)^{1/8}} = \pm\frac{1}{3^{4/8}} = \pm\frac{1}{3^{1/2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$

Таким образом, существуют два возможных знаменателя прогрессии, а значит, и два возможных набора искомых членов. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $q = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Последовательно находим каждый следующий член, умножая предыдущий на $q$:

$b_2 = b_1 \cdot q = 135 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{135\sqrt{3}}{3} = 45\sqrt{3}$

$b_3 = b_2 \cdot q = 45\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 45$

$b_4 = b_3 \cdot q = 45 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{45\sqrt{3}}{3} = 15\sqrt{3}$

$b_5 = b_4 \cdot q = 15\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 15$

$b_6 = b_5 \cdot q = 15 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$

$b_7 = b_6 \cdot q = 5\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 5$

$b_8 = b_7 \cdot q = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$

Случай 2: $q = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

В этом случае абсолютные значения членов прогрессии будут такими же, как и в первом случае, но их знаки будут чередоваться, начиная с отрицательного для $b_2$.

$b_2 = b_1 \cdot q = 135 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -45\sqrt{3}$

$b_3 = b_2 \cdot q = -45\sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 45$

$b_4 = b_3 \cdot q = 45 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -15\sqrt{3}$

$b_5 = b_4 \cdot q = -15\sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 15$

$b_6 = b_5 \cdot q = 15 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -5\sqrt{3}$

$b_7 = b_6 \cdot q = -5\sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 5$

$b_8 = b_7 \cdot q = 5 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{5\sqrt{3}}{3}$

Ответ: Существует два возможных набора членов прогрессии, заключённых между первым и девятым:
1) $45\sqrt{3}, 45, 15\sqrt{3}, 15, 5\sqrt{3}, 5, \frac{5\sqrt{3}}{3}$;
2) $-45\sqrt{3}, 45, -15\sqrt{3}, 15, -5\sqrt{3}, 5, -\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

707. Последовательность $(b_n)$ — геометрическая прогрессия. Докажите, что:

а) если $b_1 > 0$ и $q > 1$, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего;

б) если $b_1 > 0$ и $0 < q < 1$, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего;

в) если $b_1 < 0$ и $q > 1$, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего;

г) если $b_1 < 0$ и $0 < q < 1$, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего.

Для каждого из рассмотренных случаев приведите пример.

а) Для доказательства сравним два последовательных члена прогрессии $b_{n+1}$ и $b_n$. Рассмотрим их разность: $b_{n+1} - b_n = b_n \cdot q - b_n = b_n(q-1)$.
По условию, первый член прогрессии $b_1 > 0$ и знаменатель $q > 0$. Следовательно, все члены прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ также будут положительными, то есть $b_n > 0$.
Также по условию $q > 1$, из чего следует, что разность $(q-1) > 0$.
Произведение двух положительных чисел ($b_n$ и $q-1$) является положительным, поэтому $b_{n+1} - b_n > 0$, а значит $b_{n+1} > b_n$. Таким образом, каждый следующий член прогрессии больше предыдущего.
Пример: пусть $b_1 = 3$ и $q = 2$. Последовательность: 3, 6, 12, 24, ...
Ответ: Доказано. Пример: прогрессия с $b_1 = 3$ и $q = 2$.

б) Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n = b_n(q-1)$.
По условию $b_1 > 0$ и $0 < q < 1$, значит все члены прогрессии $b_n$ положительны ($b_n > 0$).
Поскольку $0 < q < 1$, следовательно, разность $(q-1) < 0$.
Произведение положительного числа ($b_n$) и отрицательного числа ($q-1$) является отрицательным. Поэтому $b_{n+1} - b_n < 0$, а значит $b_{n+1} < b_n$. Таким образом, каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего.
Пример: пусть $b_1 = 16$ и $q = 0.5$. Последовательность: 16, 8, 4, 2, ...
Ответ: Доказано. Пример: прогрессия с $b_1 = 16$ и $q = 0.5$.

в) Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n = b_n(q-1)$.
По условию $b_1 < 0$ и $q > 0$, значит все члены прогрессии $b_n$ отрицательны ($b_n < 0$).
По условию $q > 1$, следовательно, разность $(q-1) > 0$.
Произведение отрицательного числа ($b_n$) и положительного числа ($q-1$) является отрицательным. Поэтому $b_{n+1} - b_n < 0$, а значит $b_{n+1} < b_n$. Таким образом, каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего.
Пример: пусть $b_1 = -1$ и $q = 2$. Последовательность: -1, -2, -4, -8, ...
Ответ: Доказано. Пример: прогрессия с $b_1 = -1$ и $q = 2$.

г) Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n = b_n(q-1)$.
По условию $b_1 < 0$ и $q > 0$, значит все члены прогрессии $b_n$ отрицательны ($b_n < 0$).
Поскольку $0 < q < 1$, следовательно, разность $(q-1) < 0$.
Произведение двух отрицательных чисел ($b_n$ и $q-1$) является положительным. Поэтому $b_{n+1} - b_n > 0$, а значит $b_{n+1} > b_n$. Таким образом, каждый следующий член прогрессии больше предыдущего.
Пример: пусть $b_1 = -32$ и $q = 0.5$. Последовательность: -32, -16, -8, -4, ...
Ответ: Доказано. Пример: прогрессия с $b_1 = -32$ и $q = 0.5$.

708. Докажите, что если $(a_n)$ — геометрическая прогрессия, то:

a) $a_2 \cdot a_6 = a_3 \cdot a_5;$

б) $a_{n-3} \cdot a_{n+8} = a_n \cdot a_{n+5}$, где $n > 3$.

Для доказательства воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $(a_n)$: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

а) Докажем равенство $a_2 \cdot a_6 = a_3 \cdot a_5$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу n-го члена:
$a_2 \cdot a_6 = (a_1 \cdot q^{2-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{6-1}) = (a_1 \cdot q) \cdot (a_1 \cdot q^5) = a_1^2 \cdot q^{1+5} = a_1^2 \cdot q^6$.

Теперь преобразуем правую часть равенства:
$a_3 \cdot a_5 = (a_1 \cdot q^{3-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{5-1}) = (a_1 \cdot q^2) \cdot (a_1 \cdot q^4) = a_1^2 \cdot q^{2+4} = a_1^2 \cdot q^6$.

Поскольку левая и правая части равны одному и тому же выражению ($a_1^2 \cdot q^6$), то равенство $a_2 \cdot a_6 = a_3 \cdot a_5$ является верным.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Докажем равенство $a_{n-3} \cdot a_{n+8} = a_n \cdot a_{n+5}$, где $n > 3$.

Условие $n > 3$ обеспечивает, что все индексы членов прогрессии ($n-3$, $n$, $n+5$, $n+8$) являются натуральными числами (так как наименьший индекс $n-3 \geq 1$ при $n \geq 4$).

Преобразуем левую часть равенства:
$a_{n-3} \cdot a_{n+8} = (a_1 \cdot q^{(n-3)-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{(n+8)-1}) = (a_1 \cdot q^{n-4}) \cdot (a_1 \cdot q^{n+7}) = a_1^2 \cdot q^{(n-4)+(n+7)} = a_1^2 \cdot q^{2n+3}$.

Преобразуем правую часть равенства:
$a_n \cdot a_{n+5} = (a_1 \cdot q^{n-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{(n+5)-1}) = (a_1 \cdot q^{n-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{n+4}) = a_1^2 \cdot q^{(n-1)+(n+4)} = a_1^2 \cdot q^{2n+3}$.

Левая и правая части равны ($a_1^2 \cdot q^{2n+3}$), следовательно, равенство $a_{n-3} \cdot a_{n+8} = a_n \cdot a_{n+5}$ верно для всех $n>3$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

709. Докажите, что если $b_n$ и $b_m$ — члены геометрической прогрессии, знаменатель которой равен $q$, то $b_n = b_m q^{n-m}$.

Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_k)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. По определению, формула для любого члена этой прогрессии с номером $k$ имеет вид: $b_k = b_1 \cdot q^{k-1}$.

Запишем эту формулу для членов прогрессии с номерами $n$ и $m$:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ (1)
$b_m = b_1 \cdot q^{m-1}$ (2)

Предположим, что $b_m \neq 0$ (что также означает, что $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$). Разделим почленно равенство (1) на равенство (2): $\frac{b_n}{b_m} = \frac{b_1 \cdot q^{n-1}}{b_1 \cdot q^{m-1}}$

Сократим дробь в правой части на $b_1$: $\frac{b_n}{b_m} = \frac{q^{n-1}}{q^{m-1}}$

Используем свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$: $\frac{b_n}{b_m} = q^{(n-1) - (m-1)}$

Упростим показатель степени: $\frac{b_n}{b_m} = q^{n-1-m+1} = q^{n-m}$

Из полученного равенства выразим $b_n$: $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$

Таким образом, искомая формула доказана.

Ответ: Равенство $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$ доказано.

710. В геометрической прогрессии ( $x_n$ ):

a) $q = -\frac{1}{3}$, $n = 5$, $S_n = 20\frac{1}{3}$; найдите $x_1$ и $x_n$;

б) $x_1 = 11$, $x_n = 88$, $S_n = 165$; найдите $q$ и $n$;

в) $x_1 = \frac{1}{2}$, $q = -\frac{1}{2}$, $S_n = \frac{21}{64}$; найдите $n$ и $x_n$;

г) $q = \sqrt{3}$, $x_n = 18\sqrt{3}$, $S_n = 26\sqrt{3} + 24$; найдите $x_1$ и $n$.

а) Дано: знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{3}$, число членов $n = 5$, сумма $S_5 = 20\frac{1}{3} = \frac{61}{3}$.
Для нахождения первого члена прогрессии $x_1$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{x_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим известные значения в формулу:
$S_5 = \frac{x_1((-\frac{1}{3})^5 - 1)}{-\frac{1}{3} - 1} = \frac{x_1(-\frac{1}{243} - 1)}{-\frac{4}{3}} = \frac{x_1(-\frac{244}{243})}{-\frac{4}{3}}$
$\frac{61}{3} = x_1 \cdot \frac{244}{243} \cdot \frac{3}{4} = x_1 \cdot \frac{61 \cdot 4}{81 \cdot 3} \cdot \frac{3}{4} = x_1 \cdot \frac{61}{81}$
Отсюда выражаем и находим $x_1$:
$x_1 = \frac{61}{3} \cdot \frac{81}{61} = \frac{81}{3} = 27$.
Теперь найдем $n$-й член прогрессии $x_n = x_5$ по формуле $x_n = x_1 q^{n-1}$:
$x_5 = x_1 q^{5-1} = 27 \cdot (-\frac{1}{3})^4 = 27 \cdot \frac{1}{81} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $x_1 = 27$, $x_n = \frac{1}{3}$.

б) Дано: первый член $x_1 = 11$, $n$-й член $x_n = 88$, сумма $S_n = 165$.
Для нахождения знаменателя $q$ воспользуемся формулой суммы, связывающей первый и последний члены: $S_n = \frac{x_n q - x_1}{q - 1}$.
Подставим известные значения:
$165 = \frac{88q - 11}{q - 1}$
$165(q - 1) = 88q - 11$
$165q - 165 = 88q - 11$
$165q - 88q = 165 - 11$
$77q = 154$
$q = \frac{154}{77} = 2$.
Теперь найдем число членов $n$ по формуле $n$-го члена $x_n = x_1 q^{n-1}$:
$88 = 11 \cdot 2^{n-1}$
$8 = 2^{n-1}$
Так как $8 = 2^3$, то $2^3 = 2^{n-1}$, откуда $3 = n-1$ и $n = 4$.
Ответ: $q = 2$, $n = 4$.

в) Дано: первый член $x_1 = \frac{1}{2}$, знаменатель $q = -\frac{1}{2}$, сумма $S_n = \frac{21}{64}$.
Для нахождения числа членов $n$ воспользуемся формулой суммы $S_n = \frac{x_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим известные значения:
$\frac{21}{64} = \frac{\frac{1}{2}((-\frac{1}{2})^n - 1)}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{\frac{1}{2}((-\frac{1}{2})^n - 1)}{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{3}((-\frac{1}{2})^n - 1)$
$-\frac{63}{64} = (-\frac{1}{2})^n - 1$
$(-\frac{1}{2})^n = 1 - \frac{63}{64} = \frac{1}{64}$
Так как $64 = 2^6$, то $\frac{1}{64} = (\frac{1}{2})^6 = (-\frac{1}{2})^6$. Следовательно, $n=6$.
Теперь найдем $n$-й член прогрессии $x_n = x_6$ по формуле $x_n = x_1 q^{n-1}$:
$x_6 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2})^{6-1} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{32}) = -\frac{1}{64}$.
Ответ: $n = 6$, $x_n = -\frac{1}{64}$.

г) Дано: знаменатель $q = \sqrt{3}$, $n$-й член $x_n = 18\sqrt{3}$, сумма $S_n = 26\sqrt{3} + 24$.
Для нахождения первого члена $x_1$ воспользуемся формулой суммы $S_n = \frac{x_n q - x_1}{q - 1}$.
Подставим известные значения:
$26\sqrt{3} + 24 = \frac{18\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - x_1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{18 \cdot 3 - x_1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{54 - x_1}{\sqrt{3} - 1}$
$(26\sqrt{3} + 24)(\sqrt{3} - 1) = 54 - x_1$
$26\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 26\sqrt{3} + 24\sqrt{3} - 24 = 54 - x_1$
$78 - 2\sqrt{3} - 24 = 54 - x_1$
$54 - 2\sqrt{3} = 54 - x_1$
Отсюда $x_1 = 2\sqrt{3}$.
Теперь найдем число членов $n$ по формуле $n$-го члена $x_n = x_1 q^{n-1}$:
$18\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^{n-1}$
$9 = (\sqrt{3})^{n-1}$
Так как $9 = 3^2 = ((\sqrt{3})^2)^2 = (\sqrt{3})^4$, то $(\sqrt{3})^4 = (\sqrt{3})^{n-1}$, откуда $4 = n-1$ и $n=5$.
Ответ: $x_1 = 2\sqrt{3}$, $n = 5$.