Страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

714. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник — и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из первого и второго блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторное правило умножения. Нам нужно сделать два выбора: выбрать первое блюдо и выбрать второе блюдо. Количество общих вариантов будет равно произведению числа вариантов для каждого выбора.

Количество вариантов для первого блюда: 2 (борщ или рассольник).

Количество вариантов для второго блюда: 4 (гуляш, котлеты, сосиски или пельмени).

Общее количество возможных обедов вычисляется по формуле:

$N = 2 \times 4 = 8$

Таким образом, посетитель может заказать 8 различных вариантов обеда.

Укажите все обеды из первого и второго блюд, которые может заказать посетитель

Ниже представлен полный список всех возможных комбинаций обеда.

1. Борщ и гуляш
2. Борщ и котлеты
3. Борщ и сосиски
4. Борщ и пельмени
5. Рассольник и гуляш
6. Рассольник и котлеты
7. Рассольник и сосиски
8. Рассольник и пельмени

Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов

Дерево вариантов наглядно демонстрирует все возможные комбинации. "Корень" дерева — это начало выбора. От него отходят две "ветви" — варианты первого блюда. От каждой из этих ветвей отходит еще по четыре "ветви" — варианты второго блюда.

• Обед
  • Борщ
    • Гуляш
    • Котлеты
    • Сосиски
    • Пельмени
  • Рассольник
    • Гуляш
    • Котлеты
    • Сосиски
    • Пельмени

Ответ: Всего существует 8 возможных вариантов обеда из первого и второго блюд: (Борщ, Гуляш), (Борщ, Котлеты), (Борщ, Сосиски), (Борщ, Пельмени), (Рассольник, Гуляш), (Рассольник, Котлеты), (Рассольник, Сосиски), (Рассольник, Пельмени).

715. У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?

Укажите все возможные варианты выбора подруг.

Для того чтобы найти все возможные варианты, необходимо составить все уникальные пары из пяти подруг: Веры, Зои, Марины, Полины и Светланы. Порядок в паре не имеет значения (Вера и Зоя — это тот же вариант, что и Зоя и Вера).

Систематически перечислим все пары:

1. Пары с Верой: Вера и Зоя, Вера и Марина, Вера и Полина, Вера и Светлана. (4 варианта)

2. Пары с Зоей (исключая уже названную пару с Верой): Зоя и Марина, Зоя и Полина, Зоя и Светлана. (3 варианта)

3. Пары с Мариной (исключая пары с Верой и Зоей): Марина и Полина, Марина и Светлана. (2 варианта)

4. Оставшаяся пара с Полиной: Полина и Светлана. (1 вариант)

Ответ: Вера и Зоя; Вера и Марина; Вера и Полина; Вера и Светлана; Зоя и Марина; Зоя и Полина; Зоя и Светлана; Марина и Полина; Марина и Светлана; Полина и Светлана.

Сколько таких вариантов?

Для подсчета общего количества вариантов можно сложить количество пар, найденных на каждом шаге: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$.

Также можно использовать формулу из комбинаторики для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов, так как порядок выбора подруг не важен. Формула имеет вид:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашей задаче общее число подруг $n=5$, а выбрать нужно $k=2$ подруги.

Подставим значения в формулу:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{120}{12} = 10$.

Более простой способ расчета:

$C_5^2 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$.

Ответ: 10.

716. Стадион имеет четыре входа: A, B, C и D. Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько таких способов?

Данная задача относится к разделу комбинаторики. Нам нужно определить количество упорядоченных пар (вход, выход) из множества четырех входов {A, B, C, D} при условии, что элементы в паре не могут быть одинаковыми.

Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой

Чтобы перечислить все возможные способы, мы можем последовательно рассмотреть каждый вход и для него указать все возможные выходы, которые не совпадают с входом. Способы будем записывать в виде пар (Вход, Выход).

• Если посетитель входит через A, то для выхода остаются входы B, C, D. Это дает 3 способа: (A, B), (A, C), (A, D).
• Если посетитель входит через B, то для выхода остаются входы A, C, D. Это дает 3 способа: (B, A), (B, C), (B, D).
• Если посетитель входит через C, то для выхода остаются входы A, B, D. Это дает 3 способа: (C, A), (C, B), (C, D).
• Если посетитель входит через D, то для выхода остаются входы A, B, C. Это дает 3 способа: (D, A), (D, B), (D, C).

Ответ: все возможные способы: (A, B), (A, C), (A, D), (B, A), (B, C), (B, D), (C, A), (C, B), (C, D), (D, A), (D, B), (D, C).

Сколько таких способов?

Для подсчета общего количества способов можно использовать два подхода.

1. Правило умножения:

Выбор входа и выбор выхода — это два последовательных действия.

• Количество способов выбрать вход: 4 (можно выбрать A, B, C или D).
• После того как вход выбран, количество способов выбрать выход, который не совпадает с входом, равно 3. Например, если вошли через А, выйти можно через B, C или D.

Согласно правилу умножения, общее число способов равно произведению числа вариантов для каждого действия: $N = 4 \times 3 = 12$

2. Формула размещений:

Так как порядок выбора важен (пара "вошел через A, вышел через B" отличается от пары "вошел через B, вышел через A"), мы имеем дело с размещениями. Нам нужно найти число размещений из 4-х элементов по 2. Формула для числа размещений из $n$ элементов по $k$ выглядит так: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае $n=4$ (всего входов) и $k=2$ (выбираем вход и выход). $A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 4 \times 3 = 12$

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: существует 12 таких способов.

717. Укажите все способы, какими можно разложить три яблока в две вазы (учтите при этом случаи, когда одна из ваз окажется пустой).

Для решения этой задачи необходимо определить все возможные комбинации распределения трех яблок по двум вазам. Будем исходить из предположения, что вазы являются различимыми (например, "первая ваза" и "вторая ваза"), а яблоки — неразличимыми (то есть, важно лишь их количество в каждой вазе, а не то, какое именно яблоко где лежит). Такое допущение является стандартным для задач подобного типа.

Задача сводится к тому, чтобы найти все способы представить число 3 в виде суммы двух неотрицательных целых чисел. Пусть $k_1$ — количество яблок в первой вазе, а $k_2$ — количество яблок во второй вазе. Тогда их сумма должна быть равна трём:

$k_1 + k_2 = 3$

Теперь систематически переберём все возможные значения для количества яблок в первой вазе ($k_1$) и определим соответствующее количество яблок во второй вазе ($k_2$).

• Способ 1: Если в первой вазе нет яблок ($k_1 = 0$), то все три яблока должны находиться во второй вазе ($k_2 = 3$).
  Распределение: (0 яблок, 3 яблока)
• Способ 2: Если в первой вазе одно яблоко ($k_1 = 1$), то во второй вазе должны быть оставшиеся два яблока ($k_2 = 2$).
  Распределение: (1 яблоко, 2 яблока)
• Способ 3: Если в первой вазе два яблока ($k_1 = 2$), то во второй вазе должно быть одно яблоко ($k_2 = 1$).
  Распределение: (2 яблока, 1 яблоко)
• Способ 4: Если в первой вазе все три яблока ($k_1 = 3$), то вторая ваза остаётся пустой ($k_2 = 0$).
  Распределение: (3 яблока, 0 яблок)

Других вариантов распределения нет, так как мы рассмотрели все возможные количества яблок в первой вазе от 0 до 3. Таким образом, существует ровно четыре способа.

Ответ: Существует 4 способа разложить три яблока в две вазы:
1) 0 яблок в первой вазе и 3 во второй;
2) 1 яблоко в первой вазе и 2 во второй;
3) 2 яблока в первой вазе и 1 во второй;
4) 3 яблока в первой вазе и 0 во второй.

718. (Для работы в парах.) Составьте все возможные двузначные числа из указанных цифр, используя в записи числа каждую из них не более одного раза:

а) 1, 6, 8;

б) 0, 3, 4.

1) Обсудите, в чём состоит основное различие заданий а) и б).

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли составлены всевозможные двузначные числа.

1) Обсудите, в чём состоит основное различие заданий а) и б).

Основное различие между заданиями заключается в наборе предоставленных цифр. В задании а) дан набор цифр {1, 6, 8}, ни одна из которых не является нулем. В задании б) дан набор {0, 3, 4}, который включает в себя цифру 0.

Это различие принципиально важно, так как при составлении двузначного числа накладывается ограничение: первая цифра (цифра в разряде десятков) не может быть нулем.

• В задании а) любая из трех цифр может быть первой, поэтому на место десятков есть 3 варианта выбора.
• В задании б) первой цифрой могут быть только 3 или 4, но не 0. Поэтому на место десятков есть только 2 варианта выбора.

Это ограничение приводит к тому, что из набора цифр в задании б) можно составить меньше уникальных двузначных чисел, чем из набора в задании а).

Ответ: Основное различие в том, что в наборе цифр для задания б) присутствует 0, который не может стоять на первом месте в двузначном числе, в то время как в задании а) все цифры могут быть первыми.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

Выполним оба задания.

Решение задания а)
Даны цифры: 1, 6, 8. Нужно составить все двузначные числа, используя каждую цифру не более одного раза.
Систематически перебираем варианты:

• Ставим 1 на первое место (десятки): 16, 18.
• Ставим 6 на первое место (десятки): 61, 68.
• Ставим 8 на первое место (десятки): 81, 86.

Решение задания б)
Даны цифры: 0, 3, 4. Нужно составить все двузначные числа, используя каждую цифру не более одного раза. Помним, что 0 не может быть первой цифрой.
Систематически перебираем варианты:

• Ставим 3 на первое место (десятки): 30, 34.
• Ставим 4 на первое место (десятки): 40, 43.

Ответ:
а) 16, 18, 61, 68, 81, 86.
б) 30, 34, 40, 43.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли составлены всевозможные двузначные числа.

Для проверки правильности и полноты решений используем комбинаторный подход.

Проверка задания а):
Мы ищем количество размещений из 3-х различных элементов по 2, так как порядок цифр важен (16 и 61 — разные числа) и цифры не повторяются. Формула для числа размещений без повторений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
В нашем случае $n=3$ (цифры 1, 6, 8) и $k=2$ (двузначное число).
$A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1} = 6$.
Расчет показывает, что должно быть ровно 6 чисел. В решении (16, 18, 61, 68, 81, 86) как раз 6 чисел. Все они составлены верно.

Проверка задания б):
Здесь подход другой из-за нуля.
Количество вариантов для первой цифры (десятки): 2 (только 3 или 4).
После выбора первой цифры, для второй цифры (единицы) остается 2 варианта (например, если выбрали 3, то остаются 0 и 4).
Общее количество возможных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $2 \times 2 = 4$.
Расчет показывает, что должно быть ровно 4 числа. В решении (30, 34, 40, 43) как раз 4 числа. Все они составлены верно.

Ответ: Проверка подтверждает, что в задании а) найдено верное количество чисел (6), и в задании б) также найдено верное количество чисел (4). Списки чисел, приведенные в ответе к пункту 2), являются полными и правильными.