Страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

695. Найдите:

а) сумму всех положительных членов арифметической прогрессии $8.2; 7.4; \ldots$;

б) сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии $-6.5; -6; \ldots$.

а) Найдём сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 8,2; 7,4; ...

Первый член прогрессии $a_1 = 8,2$.
Второй член прогрессии $a_2 = 7,4$.
Найдём разность арифметической прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 7,4 - 8,2 = -0,8$.

Чтобы найти сумму всех положительных членов, сначала определим, сколько в прогрессии положительных членов. Для этого решим неравенство $a_n > 0$, где $a_n$ — n-й член прогрессии, который вычисляется по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$a_1 + (n-1)d > 0$
$8,2 + (n-1)(-0,8) > 0$
$8,2 - 0,8n + 0,8 > 0$
$9 - 0,8n > 0$
$9 > 0,8n$
$n < \frac{9}{0,8}$
$n < 11,25$

Так как $n$ — это порядковый номер члена прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Следовательно, в данной прогрессии 11 положительных членов ($n=11$).

Найдём последний положительный член прогрессии, $a_{11}$:
$a_{11} = a_1 + (11-1)d = 8,2 + 10 \cdot (-0,8) = 8,2 - 8 = 0,2$.

Теперь найдём сумму этих 11 членов по формуле суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{11} = \frac{8,2 + 0,2}{2} \cdot 11 = \frac{8,4}{2} \cdot 11 = 4,2 \cdot 11 = 46,2$.

Ответ: 46,2.

б) Найдём сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии -6,5; -6; ...

Первый член прогрессии $b_1 = -6,5$.
Второй член прогрессии $b_2 = -6$.
Найдём разность арифметической прогрессии $d$:
$d = b_2 - b_1 = -6 - (-6,5) = -6 + 6,5 = 0,5$.

Чтобы найти сумму всех отрицательных членов, определим, сколько в прогрессии отрицательных членов. Для этого решим неравенство $b_n < 0$, где $b_n$ — n-й член прогрессии, который вычисляется по формуле $b_n = b_1 + (n-1)d$.
$b_1 + (n-1)d < 0$
$-6,5 + (n-1) \cdot 0,5 < 0$
$-6,5 + 0,5n - 0,5 < 0$
$-7 + 0,5n < 0$
$0,5n < 7$
$n < \frac{7}{0,5}$
$n < 14$

Так как $n$ — это порядковый номер члена прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Следовательно, в данной прогрессии 13 отрицательных членов ($n=13$).

Найдём последний отрицательный член прогрессии, $b_{13}$:
$b_{13} = b_1 + (13-1)d = -6,5 + 12 \cdot 0,5 = -6,5 + 6 = -0,5$.

Теперь найдём сумму этих 13 членов по формуле $S_n = \frac{b_1 + b_n}{2} \cdot n$:
$S_{13} = \frac{-6,5 + (-0,5)}{2} \cdot 13 = \frac{-7}{2} \cdot 13 = -3,5 \cdot 13 = -45,5$.

Ответ: -45,5.

696. Найдите сумму первых сорока членов арифметической прогрессии, если сумма первых десяти её членов равна 100 и сумма первых тридцати её членов равна 900.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a_1$, а её разность как $d$. Формула для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Согласно условию задачи, сумма первых десяти членов равна 100, то есть $S_{10} = 100$. Подставим $n=10$ в формулу: $S_{10} = \frac{2a_1 + d(10-1)}{2} \cdot 10 = 100$

Упростим полученное выражение: $(2a_1 + 9d) \cdot 5 = 100$ $2a_1 + 9d = 20$ Это наше первое уравнение.

Также по условию, сумма первых тридцати членов равна 900, то есть $S_{30} = 900$. Подставим $n=30$ в формулу: $S_{30} = \frac{2a_1 + d(30-1)}{2} \cdot 30 = 900$

Упростим второе выражение: $(2a_1 + 29d) \cdot 15 = 900$ $2a_1 + 29d = \frac{900}{15}$ $2a_1 + 29d = 60$ Это наше второе уравнение.

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $a_1$ и $d$: $ \begin{cases} 2a_1 + 9d = 20 \\ 2a_1 + 29d = 60 \end{cases} $

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти значение $d$: $(2a_1 + 29d) - (2a_1 + 9d) = 60 - 20$ $20d = 40$ $d = \frac{40}{20} = 2$

Теперь, зная разность $d=2$, подставим её в первое уравнение, чтобы найти первый член прогрессии $a_1$: $2a_1 + 9(2) = 20$ $2a_1 + 18 = 20$ $2a_1 = 20 - 18$ $2a_1 = 2$ $a_1 = 1$

Итак, мы определили, что первый член прогрессии $a_1=1$, а разность $d=2$. Теперь мы можем вычислить сумму первых сорока членов, $S_{40}$. Используем ту же формулу суммы для $n=40$: $S_{40} = \frac{2a_1 + d(40-1)}{2} \cdot 40$ $S_{40} = \frac{2(1) + 2(39)}{2} \cdot 40$ $S_{40} = \frac{2 + 78}{2} \cdot 40$ $S_{40} = \frac{80}{2} \cdot 40$ $S_{40} = 40 \cdot 40 = 1600$

Ответ: 1600.

697. Найдите пятидесятый член арифметической прогрессии, если:

а) $S_{20} = 1000, S_{40} = 10000;$

б) $S_5 = 0,5, S_{15} = -81.$

а)

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию задачи имеем:

$S_{20} = 1000$

$S_{40} = 10000$

Подставим эти значения в формулу и получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:

$\begin{cases} \frac{2a_1 + (20-1)d}{2} \cdot 20 = 1000 \\ \frac{2a_1 + (40-1)d}{2} \cdot 40 = 10000 \end{cases}$

Упростим каждое уравнение:

$(2a_1 + 19d) \cdot 10 = 1000 \implies 2a_1 + 19d = 100$

$(2a_1 + 39d) \cdot 20 = 10000 \implies 2a_1 + 39d = 500$

Получаем систему:

$\begin{cases} 2a_1 + 19d = 100 \\ 2a_1 + 39d = 500 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(2a_1 + 39d) - (2a_1 + 19d) = 500 - 100$

$20d = 400$

$d = \frac{400}{20} = 20$

Теперь найдём $a_1$, подставив значение $d$ в первое уравнение системы:

$2a_1 + 19 \cdot 20 = 100$

$2a_1 + 380 = 100$

$2a_1 = 100 - 380$

$2a_1 = -280$

$a_1 = -140$

Нам нужно найти пятидесятый член прогрессии, $a_{50}$. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим найденные значения $a_1$, $d$ и $n=50$:

$a_{50} = -140 + (50-1) \cdot 20$

$a_{50} = -140 + 49 \cdot 20$

$a_{50} = -140 + 980$

$a_{50} = 840$

Ответ: $840$.

б)

Аналогично пункту а), используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

По условию задачи имеем:

$S_5 = 0,5$

$S_{15} = -81$

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{2a_1 + (5-1)d}{2} \cdot 5 = 0,5 \\ \frac{2a_1 + (15-1)d}{2} \cdot 15 = -81 \end{cases}$

Упростим каждое уравнение:

$\frac{2a_1 + 4d}{2} \cdot 5 = 0,5 \implies (a_1 + 2d) \cdot 5 = 0,5 \implies a_1 + 2d = 0,1$

$\frac{2a_1 + 14d}{2} \cdot 15 = -81 \implies (a_1 + 7d) \cdot 15 = -81 \implies a_1 + 7d = -\frac{81}{15} = -5,4$

Получаем систему:

$\begin{cases} a_1 + 2d = 0,1 \\ a_1 + 7d = -5,4 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(a_1 + 7d) - (a_1 + 2d) = -5,4 - 0,1$

$5d = -5,5$

$d = \frac{-5,5}{5} = -1,1$

Теперь найдём $a_1$, подставив значение $d$ в первое уравнение системы:

$a_1 + 2 \cdot (-1,1) = 0,1$

$a_1 - 2,2 = 0,1$

$a_1 = 0,1 + 2,2$

$a_1 = 2,3$

Найдём пятидесятый член прогрессии $a_{50}$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_{50} = 2,3 + (50-1) \cdot (-1,1)$

$a_{50} = 2,3 + 49 \cdot (-1,1)$

$a_{50} = 2,3 - 53,9$

$a_{50} = -51,6$

Ответ: $-51,6$.

698. Запишите формулу суммы первых $n$ членов последовательности ($a_n$), если:

а) $a_n = 2n + 1$;

б) $a_n = 3 - n$.

а) Для того чтобы найти формулу суммы первых $n$ членов последовательности $(a_n)$, заданной формулой $a_n = 2n + 1$, сначала определим тип этой последовательности. Проверим, является ли она арифметической прогрессией. Для этого найдем разность $d$ между $(n+1)$-м и $n$-м членами последовательности.

$d = a_{n+1} - a_n = (2(n+1) + 1) - (2n + 1) = (2n + 2 + 1) - (2n + 1) = 2n + 3 - 2n - 1 = 2$.

Так как разность $d$ является постоянной величиной, равной 2, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член этой прогрессии, подставив $n=1$ в формулу:

$a_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n$ вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим известные значения $a_1 = 3$ и $a_n = 2n + 1$ в формулу суммы:

$S_n = \frac{3 + (2n + 1)}{2} \cdot n = \frac{2n + 4}{2} \cdot n = (n + 2) \cdot n = n(n+2)$.

Ответ: $S_n = n(n+2)$.

б) Рассмотрим последовательность, заданную формулой $a_n = 3 - n$. Аналогично предыдущему пункту, проверим, является ли она арифметической прогрессией.

$d = a_{n+1} - a_n = (3 - (n+1)) - (3 - n) = (3 - n - 1) - (3 - n) = 2 - n - 3 + n = -1$.

Разность $d$ постоянна и равна -1, следовательно, это арифметическая прогрессия.

Найдем ее первый член:

$a_1 = 3 - 1 = 2$.

Используем ту же формулу для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим значения $a_1 = 2$ и $a_n = 3 - n$:

$S_n = \frac{2 + (3 - n)}{2} \cdot n = \frac{5 - n}{2} \cdot n = \frac{n(5 - n)}{2}$.

Ответ: $S_n = \frac{n(5-n)}{2}$.

699. Является ли последовательность $(x_n)$ арифметической прогрессией, если сумму первых $n$ её членов можно найти по формуле $S_n = n^2 - 8n$? Найдите пятый член этой последовательности.

Для ответа на поставленные вопросы нам необходимо сначала найти формулу для $n$-го члена последовательности $(x_n)$.

Сумма первых $n$ членов последовательности, $S_n$, и ее $n$-й член, $x_n$, связаны соотношением $x_n = S_n - S_{n-1}$ для всех $n \ge 2$. Первый член последовательности равен сумме первого члена, то есть $x_1 = S_1$.

В нашей задаче формула для суммы имеет вид: $S_n = n^2 - 8n$.

Является ли последовательность ($x_n$) арифметической прогрессией?

1. Найдем первый член последовательности $x_1$:
$x_1 = S_1 = 1^2 - 8 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$.

2. Найдем формулу для $n$-го члена $x_n$ при $n \ge 2$:
Для этого нам понадобится $S_{n-1}$:
$S_{n-1} = (n-1)^2 - 8(n-1) = (n^2 - 2n + 1) - (8n - 8) = n^2 - 2n + 1 - 8n + 8 = n^2 - 10n + 9$.
Теперь найдем $x_n$:
$x_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - 8n) - (n^2 - 10n + 9) = n^2 - 8n - n^2 + 10n - 9 = 2n - 9$.

3. Проверим, подходит ли полученная формула $x_n = 2n - 9$ для $n=1$:
$x_1 = 2 \cdot 1 - 9 = 2 - 9 = -7$.
Значение совпало, следовательно, формула $x_n = 2n - 9$ верна для всех натуральных $n$.

4. Чтобы определить, является ли последовательность арифметической прогрессией, нужно проверить, является ли разность между соседними членами постоянной величиной (эта величина называется разностью прогрессии $d$).
$d = x_{n+1} - x_n$.
Найдем $x_{n+1}$:
$x_{n+1} = 2(n+1) - 9 = 2n + 2 - 9 = 2n - 7$.
Вычислим разность:
$d = (2n - 7) - (2n - 9) = 2n - 7 - 2n + 9 = 2$.
Разность $d=2$ не зависит от $n$ и является постоянной. Это доказывает, что последовательность $(x_n)$ является арифметической прогрессией с первым членом $x_1 = -7$ и разностью $d=2$.

Ответ: Да, является.

Найдите пятый член этой последовательности.

Для нахождения пятого члена последовательности $x_5$ можно использовать найденную формулу $x_n = 2n - 9$, подставив $n=5$:
$x_5 = 2 \cdot 5 - 9 = 10 - 9 = 1$.

Также можно найти $x_5$ через разность сумм $S_5$ и $S_4$:
$S_5 = 5^2 - 8 \cdot 5 = 25 - 40 = -15$.
$S_4 = 4^2 - 8 \cdot 4 = 16 - 32 = -16$.
$x_5 = S_5 - S_4 = -15 - (-16) = -15 + 16 = 1$.
Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 1.

700. Является ли последовательность $(x_n)$ арифметической прогрессией, если сумма первых $n$ её членов может быть найдена по формуле:

а) $S_n = -n^2 + 3n;$

б) $S_n = 2n^2 - 1;$

в) $S_n = n^2 + 2n - 8;$

г) $S_n = 6n + 5?$

Для того чтобы определить, является ли последовательность $(x_n)$ арифметической прогрессией, необходимо проверить, является ли разность между любыми двумя последовательными членами постоянной величиной ($x_{n+1} - x_n = d$, где $d$ — константа). Для этого найдем первые несколько членов каждой последовательности, используя связь между членом последовательности $x_n$ и суммой первых $n$ членов $S_n$: $x_1 = S_1$ и $x_n = S_n - S_{n-1}$ для $n \ge 2$.

а) Для последовательности, заданной формулой суммы $S_n = -n^2 + 3n$, найдем первые три члена.Первый член $x_1$ равен $S_1$:$x_1 = S_1 = -(1)^2 + 3(1) = -1 + 3 = 2$.Второй член $x_2$ равен $S_2 - S_1$:$S_2 = -(2)^2 + 3(2) = -4 + 6 = 2$.$x_2 = S_2 - S_1 = 2 - 2 = 0$.Третий член $x_3$ равен $S_3 - S_2$:$S_3 = -(3)^2 + 3(3) = -9 + 9 = 0$.$x_3 = S_3 - S_2 = 0 - 2 = -2$.Последовательность начинается с членов $2, 0, -2, \dots$.Проверим разность между соседними членами:$d_1 = x_2 - x_1 = 0 - 2 = -2$.$d_2 = x_3 - x_2 = -2 - 0 = -2$.Разность постоянна и равна $-2$. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: да, является.

б) Для последовательности, заданной формулой суммы $S_n = 2n^2 - 1$, найдем первые три члена.Первый член $x_1$ равен $S_1$:$x_1 = S_1 = 2(1)^2 - 1 = 1$.Второй член $x_2$ равен $S_2 - S_1$:$S_2 = 2(2)^2 - 1 = 8 - 1 = 7$.$x_2 = S_2 - S_1 = 7 - 1 = 6$.Третий член $x_3$ равен $S_3 - S_2$:$S_3 = 2(3)^2 - 1 = 18 - 1 = 17$.$x_3 = S_3 - S_2 = 17 - 7 = 10$.Последовательность начинается с членов $1, 6, 10, \dots$.Проверим разность между соседними членами:$d_1 = x_2 - x_1 = 6 - 1 = 5$.$d_2 = x_3 - x_2 = 10 - 6 = 4$.Разность не является постоянной, так как $5 \ne 4$. Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: нет, не является.

в) Для последовательности, заданной формулой суммы $S_n = n^2 + 2n - 8$, найдем первые три члена.Первый член $x_1$ равен $S_1$:$x_1 = S_1 = 1^2 + 2(1) - 8 = 1 + 2 - 8 = -5$.Второй член $x_2$ равен $S_2 - S_1$:$S_2 = 2^2 + 2(2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$.$x_2 = S_2 - S_1 = 0 - (-5) = 5$.Третий член $x_3$ равен $S_3 - S_2$:$S_3 = 3^2 + 2(3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7$.$x_3 = S_3 - S_2 = 7 - 0 = 7$.Последовательность начинается с членов $-5, 5, 7, \dots$.Проверим разность между соседними членами:$d_1 = x_2 - x_1 = 5 - (-5) = 10$.$d_2 = x_3 - x_2 = 7 - 5 = 2$.Разность не является постоянной, так как $10 \ne 2$. Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: нет, не является.

г) Для последовательности, заданной формулой суммы $S_n = 6n + 5$, найдем первые три члена.Первый член $x_1$ равен $S_1$:$x_1 = S_1 = 6(1) + 5 = 11$.Второй член $x_2$ равен $S_2 - S_1$:$S_2 = 6(2) + 5 = 12 + 5 = 17$.$x_2 = S_2 - S_1 = 17 - 11 = 6$.Третий член $x_3$ равен $S_3 - S_2$:$S_3 = 6(3) + 5 = 18 + 5 = 23$.$x_3 = S_3 - S_2 = 23 - 17 = 6$.Последовательность начинается с членов $11, 6, 6, \dots$.Проверим разность между соседними членами:$d_1 = x_2 - x_1 = 6 - 11 = -5$.$d_2 = x_3 - x_2 = 6 - 6 = 0$.Разность не является постоянной, так как $-5 \ne 0$. Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: нет, не является.

701. Найдите обозначенные буквами члены геометрической про-грессии ($b_n$):

a) $b_1$; $b_2$; 225; -135; 81; $b_6$; ... ;

б) $b_1$; $b_2$; $b_3$; 36; 54; ... .

а)

Дана последовательность геометрической прогрессии $(b_n)$: $b_1; b_2; 225; -135; 81; b_6; \dots$

Из последовательности известны следующие члены: $b_3 = 225$, $b_4 = -135$, $b_5 = 81$.

1. Первым шагом найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$. Знаменатель равен отношению любого члена прогрессии к предыдущему. Воспользуемся известными членами $b_3$ и $b_4$:

$q = \frac{b_4}{b_3} = \frac{-135}{225}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 135 и 225 равен 45.

$q = \frac{-135 \div 45}{225 \div 45} = -\frac{3}{5}$

2. Теперь, зная знаменатель прогрессии $q = -3/5$, мы можем найти неизвестные члены.

Чтобы найти $b_2$, разделим $b_3$ на $q$:

$b_2 = \frac{b_3}{q} = \frac{225}{-3/5} = 225 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{225}{3} \cdot (-5) = 75 \cdot (-5) = -375$

Чтобы найти $b_1$, разделим $b_2$ на $q$:

$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{-375}{-3/5} = -375 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{375}{3} \cdot 5 = 125 \cdot 5 = 625$

Чтобы найти $b_6$, умножим $b_5$ на $q$:

$b_6 = b_5 \cdot q = 81 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{243}{5}$

Ответ: $b_1 = 625, b_2 = -375, b_6 = -243/5$.

б)

Дана последовательность геометрической прогрессии $(b_n)$: $b_1; b_2; b_3; 36; 54; \dots$

Из последовательности известны следующие члены: $b_4 = 36$, $b_5 = 54$.

1. Найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$:

$q = \frac{b_5}{b_4} = \frac{54}{36}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 54 и 36 равен 18.

$q = \frac{54 \div 18}{36 \div 18} = \frac{3}{2}$

2. Теперь, зная знаменатель $q = 3/2$, найдем неизвестные члены, двигаясь в обратном порядке от известных членов к началу прогрессии. Для этого будем делить каждый известный член на $q$.

Найдем $b_3$:

$b_3 = \frac{b_4}{q} = \frac{36}{3/2} = 36 \cdot \frac{2}{3} = \frac{36}{3} \cdot 2 = 12 \cdot 2 = 24$

Найдем $b_2$:

$b_2 = \frac{b_3}{q} = \frac{24}{3/2} = 24 \cdot \frac{2}{3} = \frac{24}{3} \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16$

Найдем $b_1$:

$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{16}{3/2} = 16 \cdot \frac{2}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $b_1 = 32/3, b_2 = 16, b_3 = 24$.

702. Верно ли утверждение, что если $ (x_n) $ — геометрическая прогрессия, то:

а) последовательность $ x_1 + 1; x_2 + 1; \dots; x_n + 1; \dots $ является геометрической прогрессией;

б) последовательность $ 3x_1; 3x_2; \dots; 3x_n; \dots $ является геометрической прогрессией;

в) последовательность $ x_1^2; x_2^2; \dots; x_n^2; \dots $ является геометрической прогрессией;

г) последовательность $ \frac{1}{x_1}; \frac{1}{x_2}; \dots; \frac{1}{x_n}; \dots $ является геометрической прогрессией?

Пусть $(x_n)$ — исходная геометрическая прогрессия с первым членом $x_1$ и знаменателем $q \ne 0$. Общий член такой прогрессии задается формулой $x_n = x_1 q^{n-1}$. Последовательность является геометрической прогрессией, если отношение любого ее члена к предыдущему является постоянной величиной (знаменателем прогрессии).

а) последовательность $x_1 + 1; x_2 + 1; ...; x_n + 1; ...$ является геометрической прогрессией;

Рассмотрим новую последовательность $y_n = x_n + 1$. Для того чтобы она была геометрической прогрессией, отношение $\frac{y_{n+1}}{y_n}$ должно быть постоянным для всех $n \ge 1$.

$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{x_{n+1} + 1}{x_n + 1} = \frac{x_1 q^n + 1}{x_1 q^{n-1} + 1}$

Это выражение, в общем случае, зависит от $n$, а значит, не является постоянной величиной. Следовательно, последовательность $(x_n + 1)$ не является геометрической прогрессией.

Для наглядности приведем контрпример. Пусть дана геометрическая прогрессия $1, 2, 4, 8, \dots$, где $x_1 = 1$ и $q=2$.

Тогда новая последовательность $(y_n)$ будет: $1+1, 2+1, 4+1, \dots$, то есть $2, 3, 5, \dots$.

Найдем отношения последовательных членов:

$\frac{y_2}{y_1} = \frac{3}{2}$

$\frac{y_3}{y_2} = \frac{5}{3}$

Так как $\frac{3}{2} \neq \frac{5}{3}$, последовательность не является геометрической прогрессией. Утверждение неверно.

Ответ: нет.

б) последовательность $3x_1; 3x_2; ...; 3x_n; ...$ является геометрической прогрессией;

Рассмотрим новую последовательность $y_n = 3x_n$. Найдем отношение ее соседних членов:

$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{3x_{n+1}}{3x_n} = \frac{x_{n+1}}{x_n}$

Поскольку $(x_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q$, то отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n} = q$ постоянно.

Следовательно, $\frac{y_{n+1}}{y_n} = q$ также является постоянной величиной. Таким образом, последовательность $(3x_n)$ — это геометрическая прогрессия с тем же знаменателем $q$, что и у исходной прогрессии.

Ответ: да.

в) последовательность $x_1^2; x_2^2; ...; x_n^2; ...$ является геометрической прогрессией;

Рассмотрим новую последовательность $y_n = x_n^2$. Найдем отношение ее соседних членов:

$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{x_{n+1}^2}{x_n^2} = \left(\frac{x_{n+1}}{x_n}\right)^2$

Так как $(x_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$, то $\frac{x_{n+1}}{x_n} = q$.

Следовательно, отношение $\frac{y_{n+1}}{y_n} = q^2$. Это постоянная величина. Таким образом, последовательность $(x_n^2)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q^2$.

Ответ: да.

г) последовательность $\frac{1}{x_1}; \frac{1}{x_2}; ...; \frac{1}{x_n}; ...$ является геометрической прогрессией?

Рассмотрим новую последовательность $y_n = \frac{1}{x_n}$. Это возможно, если все члены $x_n \ne 0$, то есть $x_1 \ne 0$ и $q \ne 0$. Найдем отношение ее соседних членов:

$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{1/x_{n+1}}{1/x_n} = \frac{x_n}{x_{n+1}} = \frac{1}{x_{n+1}/x_n}$

Так как $(x_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$, то $\frac{x_{n+1}}{x_n} = q$.

Следовательно, отношение $\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{1}{q}$. Это постоянная величина. Таким образом, последовательность $\left(\frac{1}{x_n}\right)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $\frac{1}{q}$.

Ответ: да.