Номер 696, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

696. Найдите сумму первых сорока членов арифметической прогрессии, если сумма первых десяти её членов равна 100 и сумма первых тридцати её членов равна 900.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a_1$, а её разность как $d$. Формула для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Согласно условию задачи, сумма первых десяти членов равна 100, то есть $S_{10} = 100$. Подставим $n=10$ в формулу: $S_{10} = \frac{2a_1 + d(10-1)}{2} \cdot 10 = 100$

Упростим полученное выражение: $(2a_1 + 9d) \cdot 5 = 100$ $2a_1 + 9d = 20$ Это наше первое уравнение.

Также по условию, сумма первых тридцати членов равна 900, то есть $S_{30} = 900$. Подставим $n=30$ в формулу: $S_{30} = \frac{2a_1 + d(30-1)}{2} \cdot 30 = 900$

Упростим второе выражение: $(2a_1 + 29d) \cdot 15 = 900$ $2a_1 + 29d = \frac{900}{15}$ $2a_1 + 29d = 60$ Это наше второе уравнение.

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $a_1$ и $d$: $ \begin{cases} 2a_1 + 9d = 20 \\ 2a_1 + 29d = 60 \end{cases} $

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти значение $d$: $(2a_1 + 29d) - (2a_1 + 9d) = 60 - 20$ $20d = 40$ $d = \frac{40}{20} = 2$

Теперь, зная разность $d=2$, подставим её в первое уравнение, чтобы найти первый член прогрессии $a_1$: $2a_1 + 9(2) = 20$ $2a_1 + 18 = 20$ $2a_1 = 20 - 18$ $2a_1 = 2$ $a_1 = 1$

Итак, мы определили, что первый член прогрессии $a_1=1$, а разность $d=2$. Теперь мы можем вычислить сумму первых сорока членов, $S_{40}$. Используем ту же формулу суммы для $n=40$: $S_{40} = \frac{2a_1 + d(40-1)}{2} \cdot 40$ $S_{40} = \frac{2(1) + 2(39)}{2} \cdot 40$ $S_{40} = \frac{2 + 78}{2} \cdot 40$ $S_{40} = \frac{80}{2} \cdot 40$ $S_{40} = 40 \cdot 40 = 1600$

Ответ: 1600.