Номер 702, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

702. Верно ли утверждение, что если $ (x_n) $ — геометрическая прогрессия, то:

а) последовательность $ x_1 + 1; x_2 + 1; \dots; x_n + 1; \dots $ является геометрической прогрессией;

б) последовательность $ 3x_1; 3x_2; \dots; 3x_n; \dots $ является геометрической прогрессией;

в) последовательность $ x_1^2; x_2^2; \dots; x_n^2; \dots $ является геометрической прогрессией;

г) последовательность $ \frac{1}{x_1}; \frac{1}{x_2}; \dots; \frac{1}{x_n}; \dots $ является геометрической прогрессией?

Пусть $(x_n)$ — исходная геометрическая прогрессия с первым членом $x_1$ и знаменателем $q \ne 0$. Общий член такой прогрессии задается формулой $x_n = x_1 q^{n-1}$. Последовательность является геометрической прогрессией, если отношение любого ее члена к предыдущему является постоянной величиной (знаменателем прогрессии).

а) последовательность $x_1 + 1; x_2 + 1; ...; x_n + 1; ...$ является геометрической прогрессией;

Рассмотрим новую последовательность $y_n = x_n + 1$. Для того чтобы она была геометрической прогрессией, отношение $\frac{y_{n+1}}{y_n}$ должно быть постоянным для всех $n \ge 1$.

$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{x_{n+1} + 1}{x_n + 1} = \frac{x_1 q^n + 1}{x_1 q^{n-1} + 1}$

Это выражение, в общем случае, зависит от $n$, а значит, не является постоянной величиной. Следовательно, последовательность $(x_n + 1)$ не является геометрической прогрессией.

Для наглядности приведем контрпример. Пусть дана геометрическая прогрессия $1, 2, 4, 8, \dots$, где $x_1 = 1$ и $q=2$.

Тогда новая последовательность $(y_n)$ будет: $1+1, 2+1, 4+1, \dots$, то есть $2, 3, 5, \dots$.

Найдем отношения последовательных членов:

$\frac{y_2}{y_1} = \frac{3}{2}$

$\frac{y_3}{y_2} = \frac{5}{3}$

Так как $\frac{3}{2} \neq \frac{5}{3}$, последовательность не является геометрической прогрессией. Утверждение неверно.

Ответ: нет.

б) последовательность $3x_1; 3x_2; ...; 3x_n; ...$ является геометрической прогрессией;

Рассмотрим новую последовательность $y_n = 3x_n$. Найдем отношение ее соседних членов:

$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{3x_{n+1}}{3x_n} = \frac{x_{n+1}}{x_n}$

Поскольку $(x_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q$, то отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n} = q$ постоянно.

Следовательно, $\frac{y_{n+1}}{y_n} = q$ также является постоянной величиной. Таким образом, последовательность $(3x_n)$ — это геометрическая прогрессия с тем же знаменателем $q$, что и у исходной прогрессии.

Ответ: да.

в) последовательность $x_1^2; x_2^2; ...; x_n^2; ...$ является геометрической прогрессией;

Рассмотрим новую последовательность $y_n = x_n^2$. Найдем отношение ее соседних членов:

$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{x_{n+1}^2}{x_n^2} = \left(\frac{x_{n+1}}{x_n}\right)^2$

Так как $(x_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$, то $\frac{x_{n+1}}{x_n} = q$.

Следовательно, отношение $\frac{y_{n+1}}{y_n} = q^2$. Это постоянная величина. Таким образом, последовательность $(x_n^2)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q^2$.

Ответ: да.

г) последовательность $\frac{1}{x_1}; \frac{1}{x_2}; ...; \frac{1}{x_n}; ...$ является геометрической прогрессией?

Рассмотрим новую последовательность $y_n = \frac{1}{x_n}$. Это возможно, если все члены $x_n \ne 0$, то есть $x_1 \ne 0$ и $q \ne 0$. Найдем отношение ее соседних членов:

$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{1/x_{n+1}}{1/x_n} = \frac{x_n}{x_{n+1}} = \frac{1}{x_{n+1}/x_n}$

Так как $(x_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$, то $\frac{x_{n+1}}{x_n} = q$.

Следовательно, отношение $\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{1}{q}$. Это постоянная величина. Таким образом, последовательность $\left(\frac{1}{x_n}\right)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $\frac{1}{q}$.

Ответ: да.