Номер 705, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

705. Известны первый член и знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$). Найдите $b_n$, если:

a) $b_1 = \frac{243}{256}, q = \frac{2}{3}, n = 8;$

б) $b_1 = \sqrt{\frac{2}{3}}, q = -\sqrt{6}, n = 5.$

а) Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

В данном случае нам даны: $b_1 = \frac{243}{256}$, $q = \frac{2}{3}$ и $n=8$.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти $b_8$:

$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = b_1 \cdot q^7 = \frac{243}{256} \cdot (\frac{2}{3})^7$.

Вычислим $(\frac{2}{3})^7$:

$(\frac{2}{3})^7 = \frac{2^7}{3^7} = \frac{128}{2187}$.

Теперь подставим это значение обратно в выражение для $b_8$:

$b_8 = \frac{243}{256} \cdot \frac{128}{2187}$.

Можно заметить, что $243 = 3^5$ и $256 = 2^8$. Также $2187 = 3^7$ и $128=2^7$. Подставим эти значения:

$b_8 = \frac{3^5}{2^8} \cdot \frac{2^7}{3^7}$.

Сократим степени:

$b_8 = \frac{3^5 \cdot 2^7}{2^8 \cdot 3^7} = \frac{1}{2^{8-7} \cdot 3^{7-5}} = \frac{1}{2^1 \cdot 3^2} = \frac{1}{2 \cdot 9} = \frac{1}{18}$.

Ответ: $b_8 = \frac{1}{18}$.

б) Используем ту же формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Нам даны: $b_1 = \sqrt{\frac{2}{3}}$, $q = -\sqrt{6}$ и $n=5$.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти $b_5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4 = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot (-\sqrt{6})^4$.

Вычислим $(-\sqrt{6})^4$:

Так как степень четная, знак минус исчезает: $(-\sqrt{6})^4 = (\sqrt{6})^4 = ((\sqrt{6})^2)^2 = 6^2 = 36$.

Теперь подставим это значение обратно в выражение для $b_5$:

$b_5 = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot 36$.

Упростим выражение:

$b_5 = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot 36 = \frac{36\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$b_5 = \frac{36\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{6}}{3} = 12\sqrt{6}$.

Ответ: $b_5 = 12\sqrt{6}$.