Номер 707, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

707. Последовательность $(b_n)$ — геометрическая прогрессия. Докажите, что:

а) если $b_1 > 0$ и $q > 1$, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего;

б) если $b_1 > 0$ и $0 < q < 1$, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего;

в) если $b_1 < 0$ и $q > 1$, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего;

г) если $b_1 < 0$ и $0 < q < 1$, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего.

Для каждого из рассмотренных случаев приведите пример.

а) Для доказательства сравним два последовательных члена прогрессии $b_{n+1}$ и $b_n$. Рассмотрим их разность: $b_{n+1} - b_n = b_n \cdot q - b_n = b_n(q-1)$.
По условию, первый член прогрессии $b_1 > 0$ и знаменатель $q > 0$. Следовательно, все члены прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ также будут положительными, то есть $b_n > 0$.
Также по условию $q > 1$, из чего следует, что разность $(q-1) > 0$.
Произведение двух положительных чисел ($b_n$ и $q-1$) является положительным, поэтому $b_{n+1} - b_n > 0$, а значит $b_{n+1} > b_n$. Таким образом, каждый следующий член прогрессии больше предыдущего.
Пример: пусть $b_1 = 3$ и $q = 2$. Последовательность: 3, 6, 12, 24, ...
Ответ: Доказано. Пример: прогрессия с $b_1 = 3$ и $q = 2$.

б) Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n = b_n(q-1)$.
По условию $b_1 > 0$ и $0 < q < 1$, значит все члены прогрессии $b_n$ положительны ($b_n > 0$).
Поскольку $0 < q < 1$, следовательно, разность $(q-1) < 0$.
Произведение положительного числа ($b_n$) и отрицательного числа ($q-1$) является отрицательным. Поэтому $b_{n+1} - b_n < 0$, а значит $b_{n+1} < b_n$. Таким образом, каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего.
Пример: пусть $b_1 = 16$ и $q = 0.5$. Последовательность: 16, 8, 4, 2, ...
Ответ: Доказано. Пример: прогрессия с $b_1 = 16$ и $q = 0.5$.

в) Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n = b_n(q-1)$.
По условию $b_1 < 0$ и $q > 0$, значит все члены прогрессии $b_n$ отрицательны ($b_n < 0$).
По условию $q > 1$, следовательно, разность $(q-1) > 0$.
Произведение отрицательного числа ($b_n$) и положительного числа ($q-1$) является отрицательным. Поэтому $b_{n+1} - b_n < 0$, а значит $b_{n+1} < b_n$. Таким образом, каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего.
Пример: пусть $b_1 = -1$ и $q = 2$. Последовательность: -1, -2, -4, -8, ...
Ответ: Доказано. Пример: прогрессия с $b_1 = -1$ и $q = 2$.

г) Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n = b_n(q-1)$.
По условию $b_1 < 0$ и $q > 0$, значит все члены прогрессии $b_n$ отрицательны ($b_n < 0$).
Поскольку $0 < q < 1$, следовательно, разность $(q-1) < 0$.
Произведение двух отрицательных чисел ($b_n$ и $q-1$) является положительным. Поэтому $b_{n+1} - b_n > 0$, а значит $b_{n+1} > b_n$. Таким образом, каждый следующий член прогрессии больше предыдущего.
Пример: пусть $b_1 = -32$ и $q = 0.5$. Последовательность: -32, -16, -8, -4, ...
Ответ: Доказано. Пример: прогрессия с $b_1 = -32$ и $q = 0.5$.