Страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

729. Упростите выражение:

a) $ (\frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b}) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b - a}; $

б) $ \frac{y}{x - y} - \frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \left(\frac{x}{(x - y)^2} - \frac{y}{x^2 - y^2}\right). $

а)

Исходное выражение:

$\left(\frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a-b}{2a+2b}\right) \cdot \frac{2a}{a+b} + \frac{b}{b-a}$

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители:

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

$2a + 2b = 2(a+b)$

Теперь выражение в скобках выглядит так:

$\frac{2ab}{(a-b)(a+b)} + \frac{a-b}{2(a+b)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2(a-b)(a+b)$:

$\frac{2ab \cdot 2}{2(a-b)(a+b)} + \frac{(a-b)(a-b)}{2(a-b)(a+b)} = \frac{4ab + (a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{4ab + a^2 - 2ab + b^2}{2(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2(a-b)(a+b)}$

Свернем числитель по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$\frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)}$

Сократим дробь на $(a+b)$:

$\frac{a+b}{2(a-b)}$

2. Теперь выполним умножение:

$\frac{a+b}{2(a-b)} \cdot \frac{2a}{a+b}$

Сокращаем общие множители $2$ и $(a+b)$:

$\frac{a}{a-b}$

3. Выполним последнее действие - сложение. Обратим внимание, что $b-a = -(a-b)$:

$\frac{a}{a-b} + \frac{b}{b-a} = \frac{a}{a-b} + \frac{b}{-(a-b)} = \frac{a}{a-b} - \frac{b}{a-b}$

Так как знаменатели одинаковы, вычитаем числители:

$\frac{a-b}{a-b} = 1$

Ответ: 1

б)

Исходное выражение:

$\frac{y}{x-y} - \frac{x^3 - xy^2}{x^2+y^2} \cdot \left(\frac{x}{(x-y)^2} - \frac{y}{x^2-y^2}\right)$

1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатель второй дроби на множители: $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.

$\frac{x}{(x-y)^2} - \frac{y}{(x-y)(x+y)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-y)^2(x+y)$:

$\frac{x(x+y)}{(x-y)^2(x+y)} - \frac{y(x-y)}{(x-y)^2(x+y)} = \frac{x(x+y) - y(x-y)}{(x-y)^2(x+y)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x^2+xy-xy+y^2}{(x-y)^2(x+y)} = \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}$

2. Теперь выполним умножение. Сначала преобразуем множитель $\frac{x^3 - xy^2}{x^2+y^2}$, вынеся общий множитель $x$ в числителе и разложив его на множители:

$\frac{x(x^2 - y^2)}{x^2+y^2} = \frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}$

Теперь умножим результат первого действия на этот множитель:

$\frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2} \cdot \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}$

Сокращаем общие множители $(x^2+y^2)$, $(x+y)$ и $(x-y)$:

$\frac{x}{x-y}$

3. Выполним последнее действие - вычитание:

$\frac{y}{x-y} - \frac{x}{x-y}$

Так как знаменатели одинаковы, вычитаем числители:

$\frac{y-x}{x-y}$

Вынесем в числителе $-1$ за скобки:

$\frac{-(x-y)}{x-y} = -1$

Ответ: -1

730. Решите неравенство:

a) $(2.5x + 3)(4x - 1) - 2.5x(4x + 2) < 3$;

б) $(1 - 4x)^2 - (8x - 1)(2x + 1) > 0$.

а) $(2,5x + 3)(4x - 1) - 2,5x(4x + 2) < 3$

Чтобы решить неравенство, сначала раскроем скобки в левой части.

Раскрываем произведение первых двух скобок:

$(2,5x + 3)(4x - 1) = 2,5x \cdot 4x - 2,5x \cdot 1 + 3 \cdot 4x - 3 \cdot 1 = 10x^2 - 2,5x + 12x - 3 = 10x^2 + 9,5x - 3$

Раскрываем второе произведение:

$-2,5x(4x + 2) = -2,5x \cdot 4x - 2,5x \cdot 2 = -10x^2 - 5x$

Подставим полученные выражения обратно в неравенство:

$10x^2 + 9,5x - 3 - 10x^2 - 5x < 3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(10x^2 - 10x^2) + (9,5x - 5x) - 3 < 3$

$4,5x - 3 < 3$

Перенесем число $-3$ из левой части в правую, изменив знак на противоположный:

$4,5x < 3 + 3$

$4,5x < 6$

Разделим обе части неравенства на $4,5$:

$x < \frac{6}{4,5}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$x < \frac{60}{45}$

Сократим дробь на их наибольший общий делитель, равный 15:

$x < \frac{4}{3}$

Таким образом, решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; \frac{4}{3})$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{4}{3})$

б) $(1 - 4x)^2 - (8x - 1)(2x + 1) > 0$

Раскроем скобки в левой части неравенства. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а для второго — правило умножения многочленов.

$(1 - 4x)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 4x + (4x)^2 = 1 - 8x + 16x^2$

$(8x - 1)(2x + 1) = 8x \cdot 2x + 8x \cdot 1 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 1 = 16x^2 + 8x - 2x - 1 = 16x^2 + 6x - 1$

Подставим раскрытые выражения в исходное неравенство:

$(1 - 8x + 16x^2) - (16x^2 + 6x - 1) > 0$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки всех слагаемых внутри них на противоположные:

$1 - 8x + 16x^2 - 16x^2 - 6x + 1 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(16x^2 - 16x^2) + (-8x - 6x) + (1 + 1) > 0$

$-14x + 2 > 0$

Перенесем число $2$ из левой части в правую с противоположным знаком:

$-14x > -2$

Разделим обе части неравенства на $-14$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-2}{-14}$

$x < \frac{1}{7}$

Таким образом, решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; \frac{1}{7})$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{7})$

731. Изобразите схематически график функции и укажите область её значений:

а) $y = x^2 + 15;$

б) $y = (x - 16)^2;$

в) $y = -x^2 + 8.$

а) $y = x^2 + 15$

График данной функции — парабола. Его можно построить, взяв за основу график функции $y = x^2$ и выполнив его параллельный перенос на 15 единиц вверх вдоль оси ординат ($Oy$).

Вершина исходной параболы $y = x^2$ находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. После сдвига вверх на 15 единиц, вершина параболы $y = x^2 + 15$ окажется в точке $(0, 15)$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх.

Следовательно, схематически график представляет собой параболу с вершиной в точке $(0, 15)$, ветви которой направлены вверх.

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Поскольку вершина параболы является точкой минимума, наименьшее значение функции равно ординате вершины, то есть 15. Ветви параболы уходят вверх в бесконечность.

Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные 15.

Ответ: Область значений $E(y) = [15; +\infty)$.

б) $y = (x - 16)^2$

График данной функции — парабола. Его можно построить, взяв за основу график функции $y = x^2$ и выполнив его параллельный перенос на 16 единиц вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$).

Вершина исходной параболы $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$. После сдвига вправо на 16 единиц, вершина параболы $y = (x - 16)^2$ окажется в точке $(16, 0)$.

Так как множитель перед скобкой положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх.

Следовательно, схематически график представляет собой параболу с вершиной в точке $(16, 0)$, ветви которой направлены вверх.

Область значений функции. Выражение в квадрате $(x-16)^2$ не может быть отрицательным. Его наименьшее значение равно 0 (при $x = 16$).

Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные 0.

Ответ: Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

в) $y = -x^2 + 8$

График данной функции — парабола. Его можно построить из графика функции $y = x^2$ за два шага: 1. Отразить график $y = x^2$ симметрично относительно оси абсцисс, чтобы получить график $y = -x^2$. Ветви этой параболы будут направлены вниз. 2. Выполнить параллельный перенос графика $y = -x^2$ на 8 единиц вверх вдоль оси ординат.

Вершина исходной параболы $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$. После отражения она останется на месте, а после сдвига вверх на 8 единиц окажется в точке $(0, 8)$.

Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен -1), ветви параболы направлены вниз.

Следовательно, схематически график представляет собой параболу с вершиной в точке $(0, 8)$, ветви которой направлены вниз.

Область значений функции. Поскольку вершина параболы является точкой максимума, наибольшее значение функции равно ординате вершины, то есть 8. Ветви параболы уходят вниз в минус бесконечность.

Таким образом, область значений функции — это все числа, меньшие или равные 8.

Ответ: Область значений $E(y) = (-\infty; 8]$.