Номер 731, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

731. Изобразите схематически график функции и укажите область её значений:

а) $y = x^2 + 15;$

б) $y = (x - 16)^2;$

в) $y = -x^2 + 8.$

а) $y = x^2 + 15$

График данной функции — парабола. Его можно построить, взяв за основу график функции $y = x^2$ и выполнив его параллельный перенос на 15 единиц вверх вдоль оси ординат ($Oy$).

Вершина исходной параболы $y = x^2$ находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. После сдвига вверх на 15 единиц, вершина параболы $y = x^2 + 15$ окажется в точке $(0, 15)$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх.

Следовательно, схематически график представляет собой параболу с вершиной в точке $(0, 15)$, ветви которой направлены вверх.

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Поскольку вершина параболы является точкой минимума, наименьшее значение функции равно ординате вершины, то есть 15. Ветви параболы уходят вверх в бесконечность.

Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные 15.

Ответ: Область значений $E(y) = [15; +\infty)$.

б) $y = (x - 16)^2$

График данной функции — парабола. Его можно построить, взяв за основу график функции $y = x^2$ и выполнив его параллельный перенос на 16 единиц вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$).

Вершина исходной параболы $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$. После сдвига вправо на 16 единиц, вершина параболы $y = (x - 16)^2$ окажется в точке $(16, 0)$.

Так как множитель перед скобкой положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх.

Следовательно, схематически график представляет собой параболу с вершиной в точке $(16, 0)$, ветви которой направлены вверх.

Область значений функции. Выражение в квадрате $(x-16)^2$ не может быть отрицательным. Его наименьшее значение равно 0 (при $x = 16$).

Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные 0.

Ответ: Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

в) $y = -x^2 + 8$

График данной функции — парабола. Его можно построить из графика функции $y = x^2$ за два шага: 1. Отразить график $y = x^2$ симметрично относительно оси абсцисс, чтобы получить график $y = -x^2$. Ветви этой параболы будут направлены вниз. 2. Выполнить параллельный перенос графика $y = -x^2$ на 8 единиц вверх вдоль оси ординат.

Вершина исходной параболы $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$. После отражения она останется на месте, а после сдвига вверх на 8 единиц окажется в точке $(0, 8)$.

Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен -1), ветви параболы направлены вниз.

Следовательно, схематически график представляет собой параболу с вершиной в точке $(0, 8)$, ветви которой направлены вниз.

Область значений функции. Поскольку вершина параболы является точкой максимума, наибольшее значение функции равно ординате вершины, то есть 8. Ветви параболы уходят вниз в минус бесконечность.

Таким образом, область значений функции — это все числа, меньшие или равные 8.

Ответ: Область значений $E(y) = (-\infty; 8]$.