Номер 724, страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

724. Учащиеся 9 класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 24 учащихся?

В данной задаче нам необходимо вычислить общее количество фотографий, которыми обменяются ученики. В классе 24 учащихся, и каждый из них должен дать свою фотографию всем остальным одноклассникам.

Способ 1: Логическое рассуждение

Каждый из 24 учеников должен дать по одной фотографии каждому другому ученику в классе. Количество других учеников для каждого составляет $24 - 1 = 23$.

Следовательно, каждый из 24 учеников должен принести 23 фотографии. Чтобы найти общее количество фотографий, нужно умножить количество учеников на количество фотографий, которое приготовит каждый:

$24 \text{ (учеников)} \times 23 \text{ (фотографии от каждого)} = 552 \text{ (фотографии)}$

Способ 2: Использование формул комбинаторики

Процесс обмена фотографиями можно рассматривать как создание упорядоченных пар учеников (дающий, получающий). Например, пара (Иван, Мария) означает, что Иван дает фотографию Марии, и это отличается от пары (Мария, Иван), где Мария дает фотографию Ивану.

Нам нужно найти число размещений из 24 элементов по 2. Формула для числа размещений из $n$ по $k$ имеет вид:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае $n = 24$ (общее число учеников) и $k = 2$ (в каждом акте обмена участвуют двое).

Подставляем значения в формулу:

$A_{24}^2 = \frac{24!}{(24-2)!} = \frac{24!}{22!} = \frac{22! \times 23 \times 24}{22!} = 23 \times 24 = 552$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 552.