Номер 722, страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

722. В соревнованиях по футболу участвовало 12 команд. Каждая команда провела с каждой из остальных по одной игре на своём поле и по одной игре на поле соперника. Сколько всего игр было сыграно?

Для решения этой задачи определим, сколько игр проводит каждая команда, и как это связано с общим количеством игр в турнире.

В соревновании участвует 12 команд. Каждая команда должна сыграть со всеми остальными. Количество соперников для одной команды составляет $12 - 1 = 11$ команд.

Согласно условию, с каждым из 11 соперников команда играет дважды: один раз на своем поле (домашняя игра) и один раз на поле соперника (гостевая или выездная игра).

Рассмотрим общее количество игр с точки зрения одной команды. Каждая из 12 команд проведет 11 домашних игр. Поскольку в каждой игре есть ровно одна команда-хозяин, общее количество игр в турнире будет равно общему количеству всех домашних игр, сыгранных всеми командами.

Чтобы найти общее количество игр, нужно умножить количество команд на количество домашних игр, которое проводит каждая команда:

Общее количество игр = (Количество команд) × (Количество домашних игр на команду)

Подставляем значения:

$12 \times 11 = 132$

Альтернативный способ (с помощью комбинаторики):

Каждая игра представляет собой упорядоченную пару команд (команда-хозяин, команда-гость). Например, игра, где Команда 1 принимает Команду 2, — это не то же самое, что игра, где Команда 2 принимает Команду 1. Нам нужно найти количество всех возможных упорядоченных пар из двух разных команд, которые можно составить из 12 имеющихся. Это задача на нахождение числа размещений из $n$ элементов по $k$.

Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее число команд $n = 12$, а в каждой игре участвуют $k = 2$ команды.

Число игр = $A_{12}^2 = \frac{12!}{(12-2)!} = \frac{12!}{10!} = 12 \times 11 = 132$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 132