Номер 739, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

739. Найдите сумму цифр всех четырёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без их повторения).

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько всего можно составить четырехзначных чисел из цифр 1, 3, 5, 7 без их повторения, а затем найти общую сумму цифр всех этих чисел.

1. Найдем общее количество возможных чисел.
Поскольку мы составляем четырехзначные числа из четырех различных цифр без повторения, каждое такое число является перестановкой этих цифр. Количество перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.
В нашем случае $n=4$, поэтому количество уникальных чисел равно:
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
Таким образом, существует 24 различных четырехзначных числа, которые можно составить из заданных цифр.

2. Найдем сумму цифр для одного такого числа.
Каждое из 24 чисел состоит из одного и того же набора цифр: {1, 3, 5, 7}. Например, 1357, 1537, 7531 и т.д. Сумма цифр для любого из этих чисел будет одинаковой:
$1 + 3 + 5 + 7 = 16$

3. Вычислим общую сумму цифр всех чисел.
Мы знаем, что всего существует 24 числа, и сумма цифр для каждого из них равна 16. Чтобы найти общую сумму цифр всех этих чисел, нужно умножить количество чисел на сумму цифр одного числа:
Общая сумма = (Количество чисел) $\times$ (Сумма цифр одного числа)
Общая сумма = $24 \times 16 = 384$

Проверка другим способом:
Рассмотрим, сколько раз каждая из цифр {1, 3, 5, 7} встречается на каждой из четырех позиций (тысяч, сотен, десятков, единиц).
Если зафиксировать одну цифру на любой позиции (например, 1 на месте тысяч), то остальные три цифры можно расставить на оставшихся трех местах $3! = 6$ способами. Это значит, что каждая цифра (1, 3, 5, 7) появляется на каждой позиции ровно 6 раз.
Всего во всех 24 числах есть $24 \times 4 = 96$ цифровых позиций. Каждая из 4 цифр используется равное количество раз, то есть $96 \div 4 = 24$ раза.
Тогда общая сумма всех цифр равна:
(количество появлений) $\times$ (сумма уникальных цифр) = $24 \times (1 + 3 + 5 + 7) = 24 \times 16 = 384$.
Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: 384