Номер 746, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

746. (Для работы в парах.) Нетрудно убедиться, что число $30!$ делится на 90. Действительно, $90 = 2 \cdot 5 \cdot 9$, и каждый из этих множителей входит в произведение, равное $30!$. С помощью аналогичных рассуждений определите, делится ли число $30!$ на:
а) 92; б) 94; в) 96; г) 98.

1) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания.

Основной принцип для решения этой задачи: чтобы число $n!$ делилось на некоторое число $k$, необходимо и достаточно, чтобы все простые множители числа $k$ содержались в разложении числа $n!$ на простые множители.

Разложение числа $30!$ на множители — это $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 30$.

а) 92

Разложим число 92 на простые множители: $92 = 2 \cdot 46 = 2 \cdot 2 \cdot 23 = 2^2 \cdot 23$.

Чтобы $30!$ делилось на 92, в его разложении должны быть как минимум два множителя 2 и один множитель 23.

1. Множитель 23: число 23 является простым и $23 \le 30$, поэтому оно входит в произведение $30!$.

2. Множители $2^2$: в произведении $30!$ есть числа 2 и 4. Их произведение $2 \cdot 4 = 8$, которое делится на $2^2=4$. Значит, в $30!$ есть как минимум два множителя 2.

Поскольку все простые множители числа 92 (с учетом их степеней) содержатся в разложении $30!$, то $30!$ делится на 92.

Ответ: да, делится.

б) 94

Разложим число 94 на простые множители: $94 = 2 \cdot 47$.

Чтобы $30!$ делилось на 94, в его разложении должны быть множители 2 и 47.

Множитель 2 в произведении $30!$ есть.

Однако множитель 47 является простым числом, и $47 > 30$. Это означает, что числа 47 нет среди множителей от 1 до 30. Так как 47 — простое, его нельзя получить произведением других чисел из этого диапазона.

Следовательно, $30!$ не содержит множитель 47 и не может делиться на 94.

Ответ: нет, не делится.

в) 96

Разложим число 96 на простые множители: $96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$.

Чтобы $30!$ делилось на 96, в его разложении должны быть как минимум пять множителей 2 и один множитель 3.

1. Множитель 3: присутствует, так как $3 \le 30$.

2. Множители $2^5$: в произведении $30!$ содержатся числа 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16 и т.д. Посчитаем, сколько множителей 2 они дают: число 2 (один), 4 (два), 6 (один), 8 (три), 16 (четыре). Уже из чисел 2, 4, 8 мы получаем $1+2+3 = 6$ множителей 2, что больше требуемых пяти. Другой способ: можно найти в произведении $30!$ числа 6 и 16. Их произведение $6 \cdot 16 = 96$. Так как $6 \le 30$ и $16 \le 30$, то их произведение является делителем $30!$.

Поскольку все простые множители числа 96 содержатся в разложении $30!$, то $30!$ делится на 96.

Ответ: да, делится.

г) 98

Разложим число 98 на простые множители: $98 = 2 \cdot 49 = 2 \cdot 7^2$.

Чтобы $30!$ делилось на 98, в его разложении должны быть как минимум один множитель 2 и два множителя 7.

1. Множитель 2: присутствует, так как $2 \le 30$.

2. Множители $7^2$: в произведении $30!$ есть числа, кратные 7: 7, 14, 21, 28. Мы можем взять число 7 (один множитель 7) и число 14 (которое равно $2 \cdot 7$ и дает второй множитель 7). Так как оба эти числа, 7 и 14, есть в произведении $30!$, то в разложении $30!$ есть как минимум два множителя 7.

Поскольку все простые множители числа 98 содержатся в разложении $30!$, то $30!$ делится на 98.

Ответ: да, делится.