Номер 753, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

753. Пересекаются ли парабола $y = x^2 - 6x$ и прямая $y - 8x = 0$? Если да, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте ответ с помощью схематического рисунка.

Чтобы определить, пересекаются ли парабола и прямая, и найти координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений, задающих эти графики.

1. Составление и решение системы уравнений

Даны уравнения:
Парабола: $y = x^2 - 6x$
Прямая: $y - 8x = 0$

Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 8x$

Теперь приравняем правые части обоих уравнений, чтобы найти абсциссы ($x$) точек пересечения:
$x^2 - 6x = 8x$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 6x - 8x = 0$
$x^2 - 14x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 14) = 0$

Это уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = 0$
$x_2 = 14$

Поскольку мы получили два различных действительных корня для $x$, это означает, что парабола и прямая пересекаются в двух точках.

2. Нахождение координат точек пересечения

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$) для каждого найденного значения $x$, используя более простое уравнение прямой $y = 8x$.

Для $x_1 = 0$:
$y_1 = 8 \cdot 0 = 0$
Следовательно, первая точка пересечения имеет координаты $(0, 0)$.

Для $x_2 = 14$:
$y_2 = 8 \cdot 14 = 112$
Следовательно, вторая точка пересечения имеет координаты $(14, 112)$.

3. Схематический рисунок

Для построения схематического рисунка проанализируем каждую функцию.

Парабола $y = x^2 - 6x$:
- Это квадратичная функция, график которой — парабола.
- Ветви направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$).
- Координаты вершины: $x_v = -b/(2a) = -(-6)/(2 \cdot 1) = 3$. $y_v = 3^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9$. Вершина находится в точке $(3, -9)$.
- Пересечение с осями координат: точки $(0,0)$ и $(6,0)$.

Прямая $y = 8x$:
- Это линейная функция, график которой — прямая.
- Проходит через начало координат $(0, 0)$.
- Имеет положительный угловой коэффициент ($k=8$), следовательно, функция возрастает.

На схеме показаны парабола, прямая и их точки пересечения.

Ответ: Да, парабола $y = x^2 - 6x$ и прямая $y - 8x = 0$ пересекаются. Координаты точек пересечения: $(0, 0)$ и $(14, 112)$.